* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

КОЛЬЦО МНОГОЧЛЕНОП ОТ ОДНОГО НЕИЗВЕСТНОГО 163 Д о к а з а т е л ь с т в о . Если f{x) делится на х— а, то по опре­ делению делимости должно иметь место равенство f(x) = (x — a)q(x). Полагая х = а, получаем из этого равенства, что f(a) = 0, т. е. а оказалось корнем многочлена /(лг). Обратно, пусть а — корень /(лг). Тогда по теореме 9 остаток г от деления f(x) на х—а должен равняться / ( а ) = 0, т. е. f(x) делится на х — с. Иногда вместо того, чтобы говорить о корне многочлена, гово­ рят о корне алгебраического уравнения /z-й степени над кольцом т. е. уравнения вида с *" + . . . + с 0 0 х п я = 0, о ф0, 0 (3) где а , а , ... , а — элементы кольца R, называемые коэффициен­ тами уравнения. При этом под корнем уравнения (3) подразуме­ вается корень многочлена f(x) = a^jc* -\~ а х^~ ~\- . - . - J - o Равенствр (3) нельзя, конечно, рассматривать как равенство двух многочленов (многочлена /(х) = а^-\-а х^~ -\- ... -\-а и нульмногочлена); величина х имеет здесь другой смысл, чем в мно­ гочлене: х здесь означает любой из корней рассматриваемого уравнения. Может случиться, что многочлен f{x) n-t\ степени будет делиться не только на х — с, но и на некоторую степень х — с. В соот­ ветствии с этим условимся а называть А-кратным корнем мно­ гочлена /(лг), если f{x) делится на (лг — а) но не делится на (лг— а ) * . Например, если f(x) делится на (х — af но не делится на (х—а) , то а — двукратный корень /(лг) (или корень кратности 2). П р и м е р 5. Число 1 является корнем многочлена 1 х rt г х п к 9 +1 % 3 / (х)=лг° — 2лг* - f х* + лг — 2х - f 1 2 над кольцом целых чисел. Найти кратность этого корня. Делим f(x) на х—1 при помощи схемы Горнера: 1 1 1 —2 —1 1 1 1 —2 —1 I 0 0 Отсюда частное равно q{x)=x —х^-\-х— 11* x 1,