* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

КОЛЬЦО МНОГОЧЛЕНОВ ОТ ОДНОГО НЕИЗВЕСТНОГО 165 Выясним, какие корни может иметь многочлен f(x)=x*— е над этим кольцом R. Согласно определению корня многочлена нам надо найти такие матрицы: Ч о чтобы £ — е = 0, или s = е, или в более подробной записи 'и ,0 0\ я /1 0\ I)' vj - \ 0 Возводя матрицу в квадрат, получаем: г к 2 0\ /1 0\ I}' и = - ь 1, v=± 1, и мы fi 2 2 v ^ \ 0 откуда и = 1 , v =l. Таким получаем четыре корня: образом, Как видим, число корней здесь превосходит степень многочлена f(x)=x — е. Вместе с тем рассматриваемое кольцо R содержит делители нуля. Так, 2 1 .о 0\ о * 0 ' г Но о)=°- /0 0\ 1 * ° ' но 0 0 > * = [о Подведём некоторый итог. В первых двух примерах число кор­ ней не превосходило степени многочлена, и в качестве кольца мы имели поле рациональных чисел и кольцо целых чисел — области, не содержащие делители нуля. Напротив, в третьем примере мы имели дело с кольцом, содержащим делители нуля, и число корней рассматриваемого многочлена оказалось больше его степени. Ниже­ следующая теорема показывает, что эта связь с делителями нуля не случайна. Т е о р е м а 10. Пусть коммутативное кольцо R с единицей ефО не обладает делителями нуля (является областью целост­ ности). Тогда всякий многочлен п-й степени над R имеет в R не более чем п корней, если даже считать каждый корень столько раз, какова его кратность. Д о к а з а т е л ь с т в о . Обозначим черезf(x) какой нибудь много­ член над /?-выше нулевой степени, и пусть он имеет корни а „ . . . . a s