* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

162 КОЛЬЦО МНОГОЧЛЕНОВ И ПОЛГ РАЦИОНАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ Составляем схему Горнера; при этом а —— 3, так как х~\-3 = = л г — ( — 3 ) . Выкладки мы будем здесь проводить в стороне, а в схему будем вписывать только окончательные результаты: 3 —3 3 2 —7 0 21 —1 10 — 64 202 Таким образом, частное равно q (х) = Зх — 7х^ ~\- 21х — 64, а остаток равен 202. Схема Горнера выгодна не только для проведения деления много­ члена /(лг) на х — с. Она оказывается весьма удобной и для вычи­ сления значения многочлена при х = а. А именно, остаток при деле­ нии f(x) на х — а мы можем найти при помощи схемы Горнера, а по теореме 9 этот остаток есть не что иное, как значение много­ члена при х = а. Так, в примере 3 было найдено при помощи схемы Горнера, что многочлен / (ЛГ) = ЗЛ: - f 2 X — х + 10 4 s 3 при делении на лг—|- 3 даёт в остатке 202. Мы можем отсюда заключить, что / ( — 3 ) = 202. Приведем ещё один пример. П р и м е р 4. Пользуясь схемой Горнера, вычислить значение / ( — 2 ) многочлена / (х) = Л: — 8x - f 24лг — 50лг + 90 над кольцом целых чисел. Проводим вычисления по схеме Горнера 1 —2 1 — 8 — 10 24 44 — 50 — 138 90 366 1 z 2 Мы видим отсюда, что / ( — 2 ) = 366. Займёмся теперь случаем, когда многочлен f(x) делится на без остатка. Этот случай тесно связан с понятием корня. О п р е д е л е н и е . Корнем многочлена f (х) называется значение лг неизвестного, при котором значение многочлена нулю: /(лг ) = О. Оказывается, что элемент а кольца R тогда и только является корнем /(х), когда f(x) делится на х — а. 0 0 Л: — а такое равно тогда