* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

160 КОЛЬЦО МНОГОЧЛЕНОВ И ПОЛЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ Так как старший коэффициент двучлена х— а равен единице то согласно теореме 6 мы можем написать, что f(x) = r — a)q(x) x + r. (!) Очевидно, что остаток г должен быть некоторым элементом кольца R, так как если гфО, то степень г должна быть ниже степени делителя х — а. Равенство (1) остаётся в силе и при любом значении х [см. в § 1 соотношения (7)]. Возьмём для х значение а. Тогда /(<*) = (a — а ) ? ( а ) + г, или, так как а — а — О, f(a)=r. Мы пришли к следующей теореме: Т е о р е м а 9. Остаток, получающийся при делении много­ члена f(x) над кольцом R на линейный двучлен X — а над тем же кольцом R, равен значению многочлена при лг = а. Пользуясь этой теоремой, можно находить остаток, не производя деления многочлена /(лг) на х—а. П р и м е р 1. Найти остаток от деления многочлена / (лг) = Злг — л; — 2л; — лг --[— 1 над кольцом целых чисел на JC + 2, не производя деления. Так как л г - | - 2 = л г — (—2), то здесь с = — 2. Таким образом, по теореме 9 получаем следующий остаток: 4 3 2 г = / ( — 2) = 3 . (— 2) — (— 2 ) — 2 • ( — 2 ) — ( — 2) + 1 = 4 3 2 = 48 + 8 — 8 + 2 + 1 = 5 1 . Деление многочлена /(лг) на линейный двучлен х — а осущест­ вляется особенно просто с помощью схемы Горнера, заключающейся в следующем. Так как степень частного ^(лг) от деления многочлена f(x) на х — а должна быть на единицу ниже, то мы можем положить: q {х) = b.x"- - f Подставляя выражения f(x) 1 1 + ... + K-v и q(x) в равенство (1), получаем: а^х" + а ^ - \ - . . . + с „ = = (х - а) {Ь^ + b x"-* + . . . + x + г ичи, производя в первой части перемножение и группируя по сте­ пеням х: V + a iX ~ n L + ••• + а п =