* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки
КОЛЬЦО МНОГОЧЛЕНОВ
ОТ ОДНОГО
НЕИЗВЕСТНОГО
159
Пусть в разложении / W = f t W f t W многочлена /(лг) на неприводимые многочлены в поле Р много члены pi(x), Ръ(х) и т . д . повторяются (с точностью до множителя нулевой степени) соответственно а, раз, о раз и т. д. Тогда, объеди няя повторяющиеся многочлены, получим так называемое каноническое разложение /(лг) в произведение неприводимых многочленов:
2
f(x)
= ср? (х) рр (х) ... р* (х)
г
(г =ss k
t
t
с ф 0 — элемент из Р)^
Здесь неприводимые многочлены p (х) между собой существенно различны (т. е. не совпадают с точностью до множителя нулевой степени). Показатель a называется кратностью неприводимого множи теля Pi(x). Так, например, рассмотренный выше многочлен
t
имеет следующее каноническое разложение: / ( * ) = 6(* +
2
лг+1) (*-1) ,
2
2
причём кратности неприводимых множителей равны двум. Вообще мы скажем, что некоторый многочлен g(x) из Р[х] входит в данный многочлен /(лг) из Р [х] с кратностью а, если f(x) делится на g (лг), но не делится на g + (лг). П р и м е р 6. С какой кратностью входит многочлен ^(лг) = = х* — 4 в многочлен / ( л : ) = л - | - л г — 8 л — 8лг + 1блг-]~ 16? Применяя алгорифм деления с остатком, без труда убеждаемся, что f(x) делится на £?(х), но не делится на £ (лг). Следовательно, g(x) входит в f(x) с кратностью 2. П р и м е р 7. С какой кратностью входит многочлен g(х) = — х^ — 2х — 2 в многочлен / ( л г ) = л г — З л г — 3 ? Легко убедиться, что /(лг) не делится на g(x). Это означает, что g(x) входит в f(x) с нулевой кратностью.
a a l в 4 а 2 3 в
§ 3. Деление на линейный двучлен Корни многочленов
х — а .
Ради большей общности выводов мы в этом параграфе будем рассматривать многочлены над произвольным коммутативным коль цом R с единицей ефО. Очевидно, что поле является частным случаем такого кольца. Мы займёмся часто встречающейся в алгебре задачей — задачей деления многочлена f(x) из R[x] на линейный двучлен лг — а с а, лежащим в том же кольце R, что и коэффициенты многочлена f(x).
