* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

122 ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА И ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ § 27. Представление произвольного линейного преобразования произведением ортогонального и симметрического Из результатов предыдущего параграфа вытекает следующая теорема, показывающая, что п р о и з в о л ь н о е линейное преобра­ зование пространства (или плоскости) с в о д и т с я к последователь­ ному выполнению растяжения в трёх взаимно перпендикулярных направлениях, вращению и, может быть, отражению в некоторой плоскости. Т е о р е м а . Любое невырожденное линейное преобразование является произведением симметрического преобразования и не­ которого ортогонального. Д о к а з а т е л ь с т в о этой замечательной теоремы удобно раз­ бить на несколько этапов. 1. Произведение линейного преобразования на его сопряжённое является симметрическим преобразованием, причём положи¬ тельно определённым. Если преобразованию Л соответствует в некотором ортонор­ мальном базисе матрица МА* то преобразованию Л* в этом же базисе соответствует матрица МА- Отсюда следует, что произведе­ нию Л*Л соответствует матрица М АМ Её транспонированная матрица (МАМА) =МА (МА) совпадает с ней, так что преобра­ зование Л*Л симметрично. Чтобы доказать положительную определённость преобразова­ ния Л**Л, достаточно воспользоваться свойством сопряжённого пре­ образования: если JC —произвольный вектор, то Т А Т Т : (лг, Л*ЛJc) = (ЛJC, ЛJc). Но скалярное произведение вектора на себя не может быть отри­ цательным, так что (JC, А*АХ)^0.. 2. Для любого симметрического положительно определённого преобразования существует другое положительно определённое преобразование, квадрат которого равен данному. Согласно доказанному в предыдущем параграфе в пространстве найдётся такой ортонормальный базис, в котором матрица данного симметрического преобразования имеет вид Числа } Х , > не могут быть отрицательными в силу положитель­ ной определённости данного преобразования. Поэтому можно J t 2 8