* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ПТОСКОСТИ И ПРОСТРАНСТВА 123 образовать матрицу / Vh о о \ м * = ( о />~ о , Vо О />~/ которая, как и всякая матрица, будет матрицей некоторого линей­ ного преобразования В. В силу того, что эта матрица симметрична, преобразование В будет симметрическим. Квадрат преобразования В будет соппадать с данным преобразованием, так как произведение матрицы В на себя даёт матрицу 3. Сопряжённое преобразование для произведения двух или нескольких преобразований равно произведению их сопряжённых в обратном порядке. Это утверждение просто следует из рассмотрения матриц: если Л и В — данные преобразования, а МА И MR—матрицы, соответст­ вующие им в некотором ортонормальном базисе, то Л/^АГд будет матрицей преобразования АВ, а (МАМВ) —матрицей сопряжённого преобразования (АВ)*. Но (МАМПУ—М^Л^, а это есть не что иное, как произведение матриц Мв* и М * преобразований В* и Л*. После всего сказанного доказательство формулированной теоре­ мы не представляет труда. Пусть Л — д а н н о е невырожденное пре­ образование. Образуем произведение Л*Л. Это преобразование бу­ дет симметрическим, положительно определённым и невырожденным (последнее следует из теоремы об определителе произведения двух матриц). В силу только что доказанного, существует симметриче­ ское положительно определённое преобразование В, квадрат кото­ рого равен Л*Л: В* = А*А; Т А преобразование В будет также невырожденным. Поэтому существует обратное преобразование В~*, а следовательно, мы можем написать равенство Л = (АВ~ ) В. Х Формулированная теорема будет доказана, если мы обнаружим, что преобразование АВ' будет ортогональным. Но мы имеем: 1 (АВ~ уАВ~ х 1 = В~ А*АВ~ 1 1 = В- В*В~ -1 Х Х = Е'), откуда следует, что преобразование ( Л В ) * является обратным для преобразования АВ~ а это и нужно (см. замечание об ортогональ­ ных преобразованиях в предыдущем параграфе). г 9 4 ) Преобразование В' 1 будет также симметрическим: (£"')* = Л~ 1 1