* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ПЛОСКОСТИ И ПРОСТРАНСТВА 121 как в силу симметрии преобразования А*=А. Но равенство ска­ лярного произведения (Ах, е[) нулю означает, что вектор Ах пер­ пендикулярен к вектору е\ (может быть, впрочем, и Ах=0, но это не меняет нашего общего вывода, так как нулевой вектор лежит на плоскости). Полученный результат означает, что наше преобразование можно рассматривать также как преобразование упомянутой плоскости в себя. Оно будет линейным, так как оно линейно во всём про­ странстве. Кроме того, это преобразование плоскости будет симме­ трическим: равенство (Ах, у) — (х, Ау), вытекающее из условия А —А*, имеет место даже для всех векторов пространства, а не только для векторов плоскости. Но выше мы доказали, что для любого симметрического преобразования плоскости на ней найдутся два взаимно перпендикулярных собственных вектора e' ё (их также можно предполагать равными единице по длине). Таким образом, в пространстве найдены три взаимно перпенди­ кулярных собственных единичных вектора е\, е\, ё преобразова­ ния А. Их можно принять за базис пространства. В этом базисе преобразование А задаётся соотношением v г % показывающим, что преобразование снова сводится по существу к простому растяжению пространства в трёх взаимно перпен­ дикулярных направлениях (с возможным изменением этих напра­ влений на противоположные). Растяжения пространства в собственном смысле выделяются среди всех симметрических преобразований тем, что для них все соб­ ственные значения Х > , Х положительны. Этого же можно до­ стигнуть с помощью понятия о положительно определённом пре­ образовании: преобразование А называется положительно опреде­ лённым, если ни один вектор не образует со своим образом тупого угла, т. е. если для любого вектора х имеет место соотношение (Ах, * ) 5 s 0 . Собственные значения положительно определённого симметри­ ческого преобразования не отрицательны. В самом деле, если е —собственный вектор преобраэопания А, то из неравенства (Ае , € ) = Q^e , е )^0 и из того, что скаляр­ ное произведение (е , е ) как квадрат длины вектора е положи­ тельно, вытекает, что Х , ^ 0 . Таким образом, растяжения пространства характеризуются тем, что они являются положительно определёнными симметри ческими преобразованиями, 1( 2 3 х х x x х х х х