* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 47 1 2 прежде всего, что каноническую сумму л слагаемых а .-{~а + . . . + с „ можно по самому её определению представить в следующем пнде: (a + . . . 4-|- а ) + а>ь+\ + . . . -|- а т. е. как каноническую сумму п — k-\-\ слагаемых, из которых первое само является каионической суммой первых k слагаемых данной суммы. Покажем, что в канонической сумме можно произвольно менять поря­ док слагаемых. В самом деле, для сумм из двух элементов справедливость утверждения гарантируется аксиомой I. Пусть утверждение доказано для кавонических сумм, состоящих из п—1 элементов, и пусть дана сумма a + а + . .-+ а для которой требуется показать, что она равна сумме а ~\- a + • • • + * п» ' ь hf- Лп — какая-либо перестановка индексов 1, 2 , . . . , п. Представим первую и вторую суммы, соответственно, в виде (a + . < - + a - i ) + « и {a +... + a ) + a Если i = n, то видпо, что дело сводится к перестановке члепов в сумме a - | - . . . -|~ & ь т. е. для этого случая всё доказано. В противном случае вектор a^ содержится среди векто­ ров а ..., a,]_i, причём его в сумме п—1 слагаемых можно переставить на последвее место, не изменяя суммы a - f - . . . + a .\. Поэтому можпо счи­ тать, что этот вектор уже стоит на последпем месте, т. е. что i = n—1. Векторы aj , . . . , i _# Q>i этом случае образуют перестановку векторов ai, . . . , с . 2 , а . Поэтому в скобках второй суммы можно (опять по предпо­ ложению индукции!) переставить слагаемые так, чтобы они стояли в порядке Л ь . . . , с _ , Д * Таким образом, остаётся только установить, что равны суммы (ai + . . . + a _i) + a„ и (о + . . . + a _ + п) + n-i- Этот последний шаг может быть проведён так: первая сумма по определению равна ( a i - f - . . . - | + rt-s) + #rt-i + я,., так что её можно рассматривать как сумму трёх сла­ гаемых {Ui - j - . . . + а _ , а _! и а„). Поэтому скобки могут быть переставлены, и мы можем написать: L к п% L я т а г д е £ ia 1 /1 /1 ti ifi t ifC n t п n и Y tl n a D n n t я п /г 2 я а a rt £ n а a л я л (a +... + а _ ) + а _! + а = (a +... + а _ ) + (а^ + а ). t л а л п L л 8 п После этого в силу коммутативности двух слагаемых можно написать равенство (а, + . . . + а _ ) + (а _ i + а ) = (a +... + а ) + (а + a„_i). л я л л t м л Теперь можно снова воспользоваться законом ассоциативности для трёх слагаемых и написать: ( « ! + . . . + а _ ) + (а + On-i) = ((а! + . . , + a„_ ) + а ) + a„_i. л 2 л a п Но правая часть последнего равепства есть не что ипое, как сумма fli + . . . + -г-а _ + а + а _ ,, или {а - f - . . . + а _ ~\- а ) + a _i- Равенство доказано. Теперь покажем, что сумма двух канонических сумм равна канониче­ ской сумме всех их слагаемых. Действительно, если вторая сумма содержит лишь одно слагаемое, то утверждение следует просто из определения канонической суммы. Пусть утверждение верно в случае, если второе слагаемое содержит п — 1 слагае­ мых, и пусть дапа- сумма (a -\-... + а ) + (b ~\-... + Ь„), в которой вторая из написанных канонических сумм содержит п слагаемых. Тогда написанную сумму можно переписать в виде (а + . . . -f- а ) + ((&i + -. - + Ь _|) + Ь ), т. е. рассмотреть как сумму трёх слагаемых ( d - f • • • 4- а )> ФУ + • • • + ^n-i) и Ъ . В таком случае мы имеем право переставить скобки так: ((а + • • • + ^т) Н* г + (^i + • • • + bn-i)) + Ъ При этом в наружных скобках оказывается сумма двух капопических сумм, вторая из которых содержит уже п—! слагаемых. В силу сдедаипого предположения выражение в наружных скобках может быть переписано в виде (ai + .. + а ~\- Ь -\-... -\-b i), а всё написанное выражение в виде (а -\-... + а + Ь -\-... + + b„. Но лолученпое выражение есть просто капоиическая сумма в с е х слагаемых обеих сумм. г а л л х п 2 п rt t т t ( т л п т п у № т х n х т х