* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

48 ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА И ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ Остаётся рассмотреть п р о и з в о л ь н ы е суммы и показать, что любым образом записанная: сумма равна канонической сумме её слагаемых. Это утверждение тривиально для сумм д в у х векторов, так как сумма днух векторов сама является капопической. Предположим, что утверждение уже доказано для сумм, состоящих дана сумма п слагаемых а . . . , а с какой-либо расстановкой скобок, то её можно представить как сумму д в у х слагаемых (для этого нужно только усмотреть, какое из указанных сложений производится п о с л е д и и м). Каж­ дое из слагаемых является само суммой ч а с т и слагаемых данной суммы. Поскочьку число слагаемых обеих ч а с т и ч н ы х с у м м мепыие л, каждая из них раина канонической сумме входящих в неё слагаемых. Поэтому вся рассматриваемая сумма как сумма двух каиопичеСкнх сумм будет канони­ ческой суммой всех её слагаемых. Этим доказательство закончено. 1( л Подобным ж е образом можно рассмотреть и произведения векто­ ров на числа. Например, произведение (к -\-.».»~\-к ) (d, -]- . . . - \ - а ) равно сумме всевозможных попарных произведений вида kfij при различных i и / . Доказывается э т о индукцией по числу т слагаемых векторов, а для т=\—индукцией по числу п. Детали рассуждения не пред­ ставляют труда, и мы оставляем его читателю. Д л я большего удобства мы условимся е щ ё писать множители в таких произведениях в п р о и з в о л ь н о м порядке, приняв по определению, что ka = ak д л я любого вектора а и любого числа k из поля Д\ Тогда правила действий над векторами примут обычный вид, х о р о ш о известный из элементарной алгебры. Нужно только следить, чтобы в каждом рассматриваемом произведении все множи­ тели, кроме одного, были числовыми. Следует особо остановиться на содержании аксиом III и V . Первая из них у т в е р ж д а е т существование хотя бы одного эле­ мента 0 (нулевого вектора), удовлетворяющего условию а~\-0 = а при л ю б о м в е к т о р е а. Л е г к о , однако, видеть, что такой вектор может быть только один: если бы были дна таких вектора О и 0', т о сумма 0 - | - 0 ' = 0 ' 4 " 0 равнялась бы одновременно 0 и О'. П о э т о м у векторы 0 и 0' были бы равны, вопреки первоначальному предположению, что они различны. Аналогично этому можно установить, что для каждого вектора х существует только один противоположный вектор: если бы та­ ких в е к т о р о в было два (—д:) и (-—дг)', т о мы имели бы такую цепочку равенств, к а ж д о е из которых вытекает из принятых аксиом: г п т (- х) = (- X) + 0= (-*) + л {X + ( - ДГ)') = ( ( - X) + X) + (- X) = = (ж + ( - д : ) ) + ( - ) ' = 0 + ( - д с У = (-л:)' + 0 = - ( - д : ) ' . Теперь можно легко установить, что если какой-либо вектор х удовлетворяет условию а-\-х = а х о т я б ы п р и о д н о м в е к т о р е <7, т о х = 0. В самом деле, прибавляя к обеим частям первоначаль­ ного равенства вектор ( — а ) , получим X — U. у