* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

46 ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВ* И ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ К обеим частям векторного равенства можно прибавить один* и тот же вектор, не нарушая справедливости равенства. В самом деле, равенство а — Ь выражает, что буквами а и b обозначен один и тот же вектор. Поскольку сумма а-\-с однозначно определена, она будет одним и тем же вектором независимо от того, как обозначено первое слагаемое: а-\-с = Ь-\-с. , По той же причине обе части векторного равенства можно умножать на один и тот же числовой множитель без нарушения равенства. Правило сложения векторов ставит в соответствие любым д в у м векторам а и b их сумму а-\-Ь. Если нам нужно сложить не два, а несколько векторов, то мы вынуждены эту операцию проводить в несколько приёмов, каждый из которых состоит в сложении двух векторов. Например, если мы имеем три вектора а, Ь и с, то можно представить себе такие различные комбинации при их сложении (а + 6) + с, а + {Ь + с), (а + < + 6, 0 где скобки, как обычно, показывают порядок выполнения операций. Законы коммутативности и ассоциативности, содержащиеся в ак­ сиоме I , позволяют утверждать, что во всех этих случаях мы получим один и тот же результат. Действительно, для первых двух из напи­ санных выражений это очевидно в силу самой формулировки аксио­ мы I , а для третьего наше утверждение следует из такой цепочки равенств: (a + c) + b = b + {a + c) = (b + a)-\-c = {a + b) + c y каждое из которых получается однократным применением равенств а) или б) аксиомы I . Естественно посмотреть, будет ли это сохраняться и в случае сложения большего числа векторов. Методом математической индукции может быть доказано, что имеет место следующий общий закон: Сумма любого числа векторов не зависит от того порядка, в котором производится операция сложения данных векторов. Этот результат даёт право при записи суммы в о о б щ е н е пи­ с а т ь с к о б о к или расставлять скобки произвольно, если это почему-либо выгодно для дальнейшего оперирования с рассматри­ ваемой суммой. Д о к а з а т е л ь с т в о сформулированного выше утверждения может быть проведено следующим образом: Рассмотрим сначала суммы такого специального вида: {...((fa+a*) + a ) + a ) + ... + a _ ) + a , 1i i n l n т. е. такие, в которых сначала складываются два первых слагаемых, затем к их сумме прибавляется третье слагаемое, затем к сумме этих слагаемых прибавляется четвёртое и т. д. Будем называть эти суммы каноническими и при выписывапии т а к и х сумм вовсе пе будем писать скобок. Заметим,