* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ И ТРЧНСЦЕНЛЕНТНМЕ ЧИСЛА 349 После того как такая нумерация произведена, построение при­ меров трансцендентных чисел не представляет уже никаких затруд­ нений. Пусть цепная дробь, представляющая число a имеет вид kt * = [№, к а[*\ ej»), , а%\ . . . ] ; к при этом мы условимся в случае, если а есть рациональное число и, следовательно, наша цепная дробь имеет последний элемент писать (только на этот раз!) = fl{fj_ =* - - = 0 (чтобы иметь возможность всякое действительное число представить б е с к о н е ч ­ н о й цепной дробью). Положим теперь для любого k^>0 2 Тогда цепная дробь [0; b Xt Ь 29 ... и , Ь, п ...] имеет все элементы, начиная с Ь положительными и, следовательно, представляет некоторое действительное число р. Докажем, что это число — трансцендентное. В самом деле, так как ряд (7) содержит все алгебраические числа, то если бы число р было алгебраическим, оно должно было бы совпадать с одним из чисел а этого ряда; но в силу единственности представления чисел цепными дробями из Р = а следует Ь = а№ при любом л ^ О и, значит, в частности Ь = а>£\ что противоречит определению числа £ . Таким образом, трансцендентность числа р доказана. Ясно, что мы можем при построении нашего трансцендентного числа как угодно варьировать определение чисел Ь лишь бы было b ^>0 и Ь фс/£\ Это показывает, что метод Кантора позволяет легко построить сколько угодно трансцендентных чисел. к л я к ft к9 k л § 17. Арифметическая природа классических постоянных Мы видели во всех случаях, что построение действительных чисел с заранее заданными чертами их арифметической природы не представляет значительных затруднений: мы можем построить сколько угодно примеров чисел, заведомо иррациональных или заведомо трансцендентных, чисел, очень хорошо или, напротив, не слишком хорошо аппроксимируемых рациональными дробями, и т. д. Но не­ сравненно более трудны^ задачи встают, когда мы хотим опреде­ лить арифметические чертЪь.числа, появившегося в нашей научной практике под влиянием мотивов совсем не арифметического харак­ тера, пришедшего в арифметику, так сказать, извне. Будет ли чи­ сло тс, определяемое в геометрии как отношение длины окружности