* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

350 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ЧИСЕЛ к диаметру, рациональным или иррациональным, — об этом нам его определение не говорит ничего. Будет ли число с, определяемое в анализе как или как e = l +17 + ^ + •••+ ^ + -••» <> 8 алгебраическим или трансцендентным и насколько хорошо оно ап­ проксимируется рациональными дробями, — всего этого непосред­ ственно из его определений узнать не удаётся. А между тем, числа е и тс играют во всей, математике настолько фундаментальную роль, что нам трудно примириться с нашим полным незнанием их арифметических черт. Поэтому понятно, что изучение арифметиче­ ской природы этих, а также других «классических постоянных» давно уже привлекало к себе внимание учёных; трудность же задачи, как всегда бывает в науке, только ещё более стимулировала энер­ гию исследователей. И в наше время, хотя многие из задач этой области остаются и до сих пор нерешёнными, наука всё же с пол­ ным правом гордится замечательными достижениями в указанном направлении, — достижениями, стоившими напряжённых усилий силь­ нейшим умам, в особенности последнего столетия. Сравнительно рано стало известным, что числа е и я иррацио­ нальны. Для числа е доказательство его иррациональности настолько просто, что мы можем привести его здесь; исходной точкой для нас будет при этом представление числа как суммы бесконечного ряда (8). Если бы число е было рациональным, е = ~-, то число t i e было бы целым; но ряд (8) даёт: *_«+«+;+ +«+ ^ < * + 1 ) 1 ^ > + 2)»Т В правой части все слагаемые первой строки — целые числа; а так как и левая часть есть в силу нашего предположения целое число, то целым числом должна бьлъ и сумма слагаемых второй строки, т. е. величина а _ 1 | I , 1 — ^ + 1 " Г ( ^ + 1 ) ( ^ + 2)"Г(*+1)(^ + 2)(*+3)" " I 1 9 но эта сумма положительна и в то же время, очевидно, меньше чем 1 , 1 . 1 . _ 1 .