* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

348 п ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ЧИСЕЛ числа и а Ф 0. Назовём «высотою» этого уравнения положительное целое число * = « + K I + l « i l + ... Если высота h уравнения дана, то и степень его и абсолютные зна­ чения коэффициентов ограничены; поэтому может существовать лишь конечное число уравнений вида (3) с данной высотой h. Так, сово­ купность уравнений высоты 3 исчерпывается, очевидно, уравнениями Jt = 0, —JC-J2 — * = 0, —х — 1=0, 2 АГ+1=0, 2л-=0, л:—1=0, — 2лг=0. 1= 0 , Это обстоятельство позволяет нам в первую очередь перенумеровать все уравнения типа (3). Наименьшая возможная высота уравнения есть, очевидно, к = 2, и уравнений с такой высотой только два: х=0 и — х = 0. Эти два уравнения мы снабжаем соответственно номерами 1 и 2. Затем мы переходим к выписанным выше восьми уравнениям высоты 3 и последовательно придаём им следующие номера: 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10. Потом мы переходим к уравнениям высоты 4 и последовательно нумеруем их числами 11, 12, . . . Так как каждой высоте соответствует лишь конечная группа уравнений, то при безграничном продолжении описанного процесса действи­ тельно каждое уравнение типа (3) рано или поздно получит свой, ему одному приписанный номер. Таким образом, множество всех уравнений типа (3) может быть перенумеровано. А теперь перейдём к нумерации (действительных) алгебраиче­ ских чисел. Основою этой нумерации будет служить то, что в силу основной теоремы алгебры уравнение вида (3) может иметь лишь конечное (не более л) число корней. Возьмём уравнение № 1, и пусть оно имеет п различных между собою действительных корней; обо­ значим эти корни через a о , , o „ Перейдём к уравнению № 2; х v 2 le пусть оно имеет п действительных корней, отличных друг от друга и от корней уравнения № 1; обозначим эти корни через а , а„ , -- , а 1+п - Далее, действительные корни уравнения № 3, отличные друг от друга и от корней уравнений J f 1 и № 2, обозначим через Se г П ] + 1 1 + 8 Я 2 если л — число таких корне*}. Будем продолжать этот процесс без­ гранично. Мы получим ряд чисел 3 a l9 Oj, . . . , а , . . . , л (7) в котором каждое число, удовлетворяющее какому-либо уравнению типа (3), встретится один и только один раз. Таким образом, этот ряд представляет собою не что иное, как перенумерованное мно­ жество всех алгебраических чисел.