* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

ЦЕПНЫЕ ДРОБИ И ДИОФАНТОВЫ ПРИБЛИЖЕНИЯ 335 § 14. Диофантовы приближения Мы уже видели, что тривиальный на первый взгляд переход от к разности [да—р\ (служащей в качестве меры д для оценки точности приближения) привёл нас как к более закон­ ченному решению ранее поставленных задач, так и к естествен­ ному возникновению новой проблематики. Однако его значение в этом последнем направлении нами ещё далеко не исчерпано. Принципиально наиболее важными и исторически наиболее зна­ чительными здесь оказались такие линии развития, которые вы­ ходят далеко за пределы не только теории цепных дробей, но и всей проблемы приближения действительных чисел рациональными дробями. К этим весьма широким выводам мы и должны теперь обратиться. Когда мы искали такие целые числа д и р для которых раз­ ность да — р становится весьма малой по абсолютному значению (а именно так мы ставили задачу в первой половине этой главы), то можно, очевидно, сказать, что мы занимались приближённым решением в целых числах х, у уравнения разности % ха—у=0, (П) где а было данным действительным числом; мы требовали при этом, чтобы х было положительным, и этим исключали тривиальное точное решение х=у = 0. Если число а рационально, то уравне­ ние (11) всегда имеет бесчисленное множество нетривиальных (т. е. отличных от раз навсегда исключаемого тривиального решения х=у=0) точных решений. Напротив, если а иррационально, то уравнение (11) не может иметь других точных решений, кроме тривиального. Поэтому здесь встаёт вопрос о приближённом его решении и о тех закономерностях, которые здесь имеют место. Этим вопросом мы и занимались до сих пор. Так, например, только что установленную нами теорему 6 с нашей новой точки зрения можно формулировать так, что при иррациональном а уравнение (11) имеет бесчисленное множество таких приближённых решений дг]>0, у, для которых ха-у\<-± и что УЪх 9 есть наименьшая положительная постоянная, мо¬ гущая выступать в этой роли. Лежен Дирихле принадлежит заслуга создания замечательного своей простотой и мощностью метода, позволяющего изучать зада­ чу приближённого решения уравнения (11) (и, как мы скоро увидим, много других аналогичных задач) без применения как цепных дро­ бей, так и вообще какого бы то ни было специального аппарата.