* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

336 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ЧИСЕЛ Пусть мы хотим сделать: \**—У\<-Т (*>0), (12) где t — данное (большое) натуральное число. Сколь большим нам придётся для этого выбрать число х (а значит, и у)? Чтобы ре­ шить этот вопрос, заставим х пробегать ряд чисел 0, 1, 2 , . . . , * и для каждого из этих значений возьмём «дробную часть» про­ изведения ха ха — [ха]. Таким образом, мы получим / - { - 1 чисел ха — [ха], щих, очевидно, неравенствам О^дга — [дга]<1 (O^x^t). удовлетворяю­ Если мы теперь разобьём отрезок (0, 1) на / равных отрезков (дли1 ны —j—), причём к каждому из этих отрезков причислим его левый конец, но не будем причислять правого, то, очевидно, каждое из наших чисел дга — [ха] будет принадлежать в точности одному из этих частных отрезков. Но чисел у нас f - j - 1 , а отрезков — толь­ ко t\ поэтому обязательно найдётся такой отрезок, который содер­ жит два числа х а — [х а] и jc a — |лг&а]. Но тогда разность этих двух чисел будет меньше, чем длина содержащего их отрезка, т. е. х х a меньше чем р а t Допуская для определённости, что x <^x t f v и по­ лагая д г — x = x [х%а] — [х а]=у, г мы поэтому будем иметь: причём, очевидно, 0<^x^t. Мы приходим, таким образом, к сле­ дующему важному предложению, принадлежащему Дирихле: Т е о р е м а 7. Пусть а — любое действительное число ut — любое натуральное число; тогда существуют такие целые числа х и у, что \**—У\<Т ( ° < « 0 (13) Таким образом, неравенствам (12) всегда можно удовлетворить, выбирая х не ббльшим, чем данное число L Из неравенств (13), очевидно, вытекает неравенство \**-У\<±, существование сколь угодно больших решений которого нам хорошо известно из теории цепных дробей; теперь мы доказали его методом Дирихле без всякого алгорифма. Впрочем, теоре­ ма 7 очень легко доказывается и с помощью цепных дробей: