* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

226 ПОНЯТИЯ МНОЖЕСТВА, ГРУППЫ, КОЛЬЦА и поля Подмножество А упорядоченного множества (и, в частности, рас­ положенного поля) Р называется ограниченным, если существуют элементы Ъ и ft из Р такие, что ft, < ^ f l < ^ f t Д любого элемента а множества А. Следующие три свойства расположенного поля Р эквивалентны. а) В поле Р выполнены аксиомы X I и X I I . б) (Д е д е к и н д ) . Любое сечение поля Р имеет рубеж. в) (В е й е р ш т р а с с). Любое бесконечное ограниченное мно­ жество элементов поля Р имеет предельный элемент. Таким образом, поле действительных чисел аксиоматически можно определить свойствами I — X и любым из свойств а), б), в). Доказа­ тельство эквивалентности свойств а), б), в) можно найти в книге И. В. Проскурякова [ ] . Поле рациональных чисел аксиоматически можно определить как простое поле характеристики нуль. В самом деле, любое такое поле совпадает со своим подполем рациональных элементов и, сле­ довательно, изоморфно полю рациональных чисел Г (§ 23, теоре­ ма 2). Кольцо целых чисел аксиоматически можно определить, как кольцо R с единицей е, не содержащее отличного от него подкольца с единицей и обладающее тем свойством, что пефО для любого натурального * числа п. В самом деле, легко показать, что множество всех элементов вида пе изоморфно множеству N нату­ ральных чисел относительно сложения и умножения. Следовательно, кольцо R содержит подкольцо R , изоморфное кольцу целых чисел С (§ 20, теорема 3). Но так как /? содержит единицу, то оно совпадает с R. Таким образом, R изоморфно кольцу целых чисел. л я х 2 a в e 0