* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

ПОЛЕ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ а 225 В самом деле, если Р , и Р — две интерпретации системы аксиом I — X I I (т. е. два непрерывных поля), то для одной и той же интерпрета­ ции Г поля рациональных чисел существуют поля D и D , содер­ жащие в качестве подполя поле Г и изоморфные (относительно сложения, умножения и расположения) соответственно Р и Р (§ ^3, теорема 2). В силу этого изоморфизма поля D, и D сами непре­ рывны и, следовательно, изоморфны относительно обеих операций и порядка (§ 25, теорема 2). Но тогда по свойствам изоморфизма поля Р и Р изоморфны между собой (также относительно сложе­ ния, умножения и расположения). Этим полнота системы аксиом I—XII доказана. Поскольку непротиворечивость и полнота системы аксиом I — XII доказаны, эта система точно определяет поле действительных чисел и является фундаментом для построения теории действительного числа. Такое построение было ь известных пределах выполнено нами в предыдущем параграфе. Вопрос о независимости системы аксиом I — XII (§ 17, опре­ деление 3) не имеет такого принципиального значения, и мы им заниматься не будем. Укажем лишь, что каждая из аксиом XI и XII независима от остальных аксиом I — X I I . Мы определили непрерывность расположенного поля при помощи аксиомы Архимеда и аксиомы полноты (§ 24, определение 6). Суще­ ствует много других форм аксиом непрерывности. Приведём две из них. Чтобы их формулировать, нужно ввести некоторые новые понятия. Сечением упорядоченного множества (и, в частности, рас­ положенного поля) Р называется пара непустых подмножеств X, Y множества Р, не имеющих общих элементов, объединение кото­ рых (§ 2) равно Р, т. е. x 3 г 2 2 х 2 X[\V=0, X\}Y=P, причём х<^у для любых элементов х£Х и yi Y. Если элемент а является наибольшим элементом в X, причём Y не имеет наимень­ шего элемента или же а является наименьшим элементом К, при­ чём X не имеет наибольшего элемента, то элемент а называется рубежом данного сечения. Элемент Ъ упорядоченного множества Р называется предельным элементом множества Л, если для любых элементов Ь и Ь таких, что b <^b<^b2, существует бесконечное множество элементов а из Л, для которых Ь <^а<^Ь . Легко убедиться, что для расположенного поля Р это опреде­ ление эквивалентно такому: Элемент Ь называется предельным для множества А, если для любого элемента е ] > 0 из Р существует бесконечное множество элементов а из А, для которых \а — Ь\<^г. х 2 x х 2 15 Энциклопедия, к н . 1.