* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

ПОЛЕ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ 213 В самом деле, для любого е ] > 0 из D такое, что ( е ) < ^ е , и натуральное л Q берём рациональное е ] > 0 такое, что —<С С 0 0 Тогда любом п^>п . п Таким образом, по- следовательность { а \ также сходится и притом lima„ = Iim ( a „ ) = a . Этим доказано свойство X I I , а значит, и теорема 4. Поле D с точностью до изоморфизма и является полем дей­ ствительных чисел. Однако оно не содержит поля рациональных чисел Г, от которого мы отправлялись при его построении. Эле­ ментами поля D являются классы эквивалентных фундаментальных последовательностей рациональных чисел, но не сами рациональ­ ные числа. Но выше мы видели, что D содержит подполе Г классов, со­ держащих стационарные последовательности, изоморфное Г. Поэтому существует поле D, содержащее поле Г в качестве подполя и изо­ морфное (относительно сложения и умножения) полю D (§ 9, тео­ рема 2}. Перенесём отношения порядка с D на D при помощи дан­ ного изоморфного отображения / поля D на D . Именно, элемент d поля D будем считать положительным, если соответствующий ему элемент f(d) = d поля D положителен. Тогда поле D будет рас­ положено, и данный изоморфизм / сохраняет отношения порядка. Порядок D порождает порядок его подполя Г , совпадающий с опре­ делённым прежде для рациональных чисел, ибо поле Г вообще до­ пускает единственное расположение (§ 23, теорема 1). При изомор­ физме D и D поле Г изоморфно отображается на некотором под­ поле Г " из jD . Но так как Г изоморфно Г и Г допускает единственное изоморфное отображение в D (§ 23, теорема 2), то Г " = Г , и при изоморфизме D и D рациональному числу а из Г соответствует класс (а) из Г'. Из сохранения отношений порядка при изоморфизме D и D сле­ дуют для поля D: сохранение всех свойств расположения, в част­ ности выполнение аксиомы Архимеда, совпадение фундаменталь­ ности и сходимости последовательностей и полнота. Стало быть, из непрерывности поля D следует непрерывность поля D. Итак, поле действительных чисел D построено. Его элементами, т. е. действительными числами, являются, во-первых, все рациональные числа и, во-вторых, классы эквивалентных и не имеющих рационального предела фундаментальных последовательностей рациональных чисел. Из свойств поля Z) вытекает, что любая фундаментальная по­ следовательность \й } рациональных чисел имеет своим пределом в D либо рациональное число, либо тот класс, которому прина­ длежит данная последовательность { а } . 0 г Q 0 0 Q 0 Q fl Q Г 0 Q 0 fl п п