* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

214 ПОНЯТИЯ МНОЖЕСТВА, ГРУППЫ, КОЛЬЦА И ПОЛЯ § 26. Свойства действительных чисел Поле действительных чисел D обладает всеми свойствами рас» положенных полей, доказанными в главе I I . Так, в этом поле от­ сутствуют делители нуля (§ 7, определение 2 и теорема 2, § 8, теорема 1). Имеют смысл понятия положительного и отрицательного чисел (§ 10, определение 1) и вводится порядок, при котором нуль меньше всех положительных и больше всех отрицательных чисел (§ 10, теорема 1). Справедливы закон монотонности и обычные пра­ вила оперирования с неравенствами (§ 10, теоремы 2—4). Квадрат любого числа, кроме нуля, положителен (§ 10, теорема 7). Имеет смысл понятие абсолютной величины (§ 10, определение 2), при­ чём абсолютная величина обладает обычными свойствами и верны обычные правила сравнения и оперирования над членами через срав­ нение и оперирование над их абсолютными величинами (§ 10, тео­ рема 8 и следующие эа ней замечания). Действительные числа, не являющиеся рациональными, называются иррациональными. Переходим к задаче об извлечении корня из любого действи­ тельного числа. Решение этой задачи мы получим, рассмотрев го­ раздо более общую задачу о нахождении значения аргумента, при котором непрерывная функция принимает данное значение. Понятие о непрерывной функции, связанное с понятием предела последовательности, играет основную роль во всём математиче­ ском анализе. Общее понятие функции нам уже известно ( § 3 , определение 1). Здесь мы будем рассматривать лишь функции, связанные с полем действительных чисел. О п р е д е л е н и е 1. Действительной функцией (или функцией действительного переменного) y=f(x) (или короче / ) , заданной на множестве X действительных чисел, называется соответствие, сопоставляющее с каждым числом х множества Xодно определённое действительное число y=f(x). Число х называется значением аргумента, а у — значением функции приданном значении аргу­ мента х (или в точке х). Всюду в этом параграфе под функциями мы, не оговаривая этого, будем понимать действительные функции. О п р е д е л е н и е 2. Функция y=f(х), заданная на множе­ стве X действительных чисел, называется непрерывной в точке х множества X, если для любого действительного числа е ^ > 0 суще­ ствует действительное число 8^>0 такое, что из \х—.* |<^& следует \f(x) — / ( д г ) | < е для любого числа х множества X. Функ­ ция y=f(x) называется непрерывной на множестве, если она непрерывна в каждой его точке (т. е. для любого числа х из X). Связь понятия непрерывности функции с понятием предела опре­ деляется теоремой: 0 л 0 0