* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

212 ПОНЯТИЯ МНОЖЕСТВА, ГРУППЫ, КОЛЬЦА И ПОЛЯ не меняющие смысла при переходе к подполю (§ 24, определения 3 и 4, замечание и теорема 5). Покажем, что если класс а содержит последовательность { а }, то l i m (а )=а. Пусть е ] > ( 0 ) — элемент поля D , содержащий по­ следовательность {е \. Тогда существует рациональное число 0 и натуральное т такие, что е ^>е при любом п^>т, т. е. е ^ ( с ) . Берём рациональное число е' такое, что t ? ^ e ' ^ > 0 (например, е = п г 0 п п = у ) . Тогда ( е ' ) < С ( ) ^ - Так как последовательность \а ] фун­ даментальна, то существует натуральное п такое, что \а — а \<^е при любых р, 9 ^ > я - Поэтому для данного п^>п будем иметь: а — a „ < V и а„ — a <^e при любых р, д ^> п . Переходя при дан­ ном п от последовательностей к содержащим их классам, по дока­ занному выше получим: п 0 р д 0 0 r р fl 0 е е « — (««>< (О е П И п и Ы —«<(•'). 0 откуда |(а„) — « | < ^ ( е ' ) < С Р любом п^>п ; это и означает, что lim (а ) = а. Мы доказали, что любая фундаментальная последовательность элементов (а„) подполя V имеет предел в £> . Отсюда уже нетрудно вывести полноту поля D . Пусть \ а } — любая фундаментальная по­ следовательность элементов поля £) . Так как по доказанному каж­ дый класс а равен пределу классов из подполя Г', то для данного 0 0 п 0 п п [ввиду!—) ^>(0)] п существует элемент (а ) п из V такой, п что | а л — (а ) | <С ( ~ ) * Покажем, что последовательность { ( а ) } фунда­ ментальна. Пусть е^>(0)—любой элемент D . Как было показано выше, из аксиомы Архимеда вытекает, что существует рациональное число 3 1 0 е ^ > 0 такое, что (с)<^е- Существует натуральное л ^ > — или — < ^ х <^тг • Далее, в силу фундаментальности { а \ существует натуральное п (в»)1«1(^)- р1+1^- «1+1 »-< «)1< в в в в <(?) + (*) + (1)<(з-) + Ш + (*)-»<• при любых р, д^>п . Из изоморфизма полей Г и Г ' (сохраняющего, очевидно, отноше­ ния порядка) вытекает, что последовательность { а \ рациональных чисел сама фундаментальна. Пусть а — класс из D содержащий \а„\. Выше было доказано, что l i m (а ) = а. Но l i m [(а )— а ] = 0. 0 п Q9 п п я