* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

ПОЛЕ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ. я 0 211 Поэтому | в | < е при любом я > я , т. е. lima„ = 0, отку­ да а = ( 0 ) . Итак, один из трех указанных выше случаев обязательно имеет место. Если класс а положителен, то существует рациональное а ^ > 0 и п такие, что а ^>а, —а <^—а при любом Л ] > Й . Этим исклю­ чается как l i m a „ = 0 , т. е. а = ( 0 ) , так и положительность класса — а. Аналогично показывается, что положительность — а исключает два других случая. Этим уже доказано, что все три случая несовместимы, т. е. свойство IX выполнено. Свойство X выполнено, так как сумма и произведение по­ ложительных последовательностей, очевидно, снова положи­ тельны. Итак, доказано, что D — расположенное поле. Считая а ^ > р , если а — р положительный класс, введем в D порядок, при котором положительные элементы и только они будут больше нуля (§ 10, теорема 1). Легко видеть, что единицей поля D будет класс, содержащий последовательность { 1 } = 1, 1, 1 , . . . и все последовательности { а } , ей эквивалентные, т. е. такие, для которых lim a =U Будем обо­ значать этот класс через (1). Покажем, что в D выполнена аксиома Архимеда X I . Пусть класс а содержит последовательность { а }• Выше мы показали, что фунда­ ментальная последовательность ограничена. Поэтому существует ра­ циональное число а такое, что \а \<^а и потому а— я ^ > 0 при любом п. Так как в поле рациональных чисел аксиома Архимеда выполнена (§ 23, теорема 3), то существует натуральное число £ ^ > а + Ь Тогда k — а „ ^ > 1 при любом п и, следовательно, класс А - ( 1 ) — а положителен, т. е. А « ( 1 ) ^ а . Отсюда для поля D вы­ текает X I . Наконец, покажем, что в D выполнена аксиома полноты XII (§ 24, определение 5). Заметим сначала, что если класс а содержит после­ довательность {а \, где а ^ 0 при любом л, большем некоторого натурального числа я , то а ^ ( 0 ) , так как, очевидно, неравенство а < ^ ( 0 ) невозможно. Поэтому, если а содержит | а [ и р содержит {b } то из а ^Ь при любом я ^ > я следует а ^ р . Аналогично тому, как классы, содержащие последовательности { 0 } и { 1 }, мы обозначили через (0) и (1), мы теперь для любого рационального числа а обозначим через (а) класс, содержащий последовательность [а\ = а, а, а,... Такие последовательности, все члены которых равны, мы будем называть стационарными. Очевидно, что соответ­ ствие а *—*(а) является изоморфным отображением поля Г рацио­ нальных чисел на множество Г' всех классов, содержащих стацио­ нарные последовательности. Следовательно, Г' также является полем (§ 9, теорема 1). В поле D как в любом архимедовски расположенном поле, определены понятия предела и фундаментальной последовательности, 0 п п 0 0 0 Q п n 0 п п й 0 Q п я ф п n f п п 0 Qt 14*