* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

210 ПОНЯТИЯ МНОЖЕСТВА, ГРУППЫ, КОЛЬЦА И ПОЛЯ при любом п^>р. Это значит, что l i m a = 0. Но это невозможно, так как { а } принадлежит классу а Ф (0). Без ограничения общности можно считать а ф0 при любом я . В самом деле, в силу l ^ „ | ^ a ^ > 0 при любом п^>п лишь конеч­ ное число членов а (при п*^п ) может равняться нулю. Заменяя их любыми рациональными числами, отличными от нуля, получим, очевидно, последовательность, эквивалентную { а } , т. е. принадле­ жащую классу а и не имеющую членов, равных нулю. n п п и п г п Покажем, что последовательность { с } = { — } является фунда¬ ментальной. Последовательность \ Ь ) как фундаментальная ограни­ чена, т. е. существует рациональное число Ь такое, что \b \<^b при любом «. Пусть дано рациональное е ^ > 0 . Так как \а \ и {Ь \ фундаментальны, то существуют натуральные щ и /г такие, что я п n п п а \ р~ чК"®" р, д^>Пъ. а а Л 4^> % \ p — ч\ ^~2 Пусть я — наибольшее из чисел я , п и л . Тогда п р и л ю б ы х п и b 0 1 2 а ъ < п р и Л ю б ы х bL — hа р Ьрйд — a bg 0 s a q йрСд bpQg — Qpbp_ I йрЪр — Vgbq a £ig аа p р д . 0. а*в ее e _J_ J__£j__2_L _ _ _J при любых /?, q^>n ; 0 таким образом, последовательность {/:„} = = | - ^ р - | действительно фундаментальна. Пусть у — класс, содержащий {с„ } . Из { а } • { с } = {Ь } сле­ дует ау = р, чем свойство V I I доказано. Свойство VIII выполнено, ибо D содержит, очевидно, более одного элемента. Докажем выполнение в D свойства IX. Надо показать, что для любого класса а имеет место один и только один из трёх случаев: а по­ ложителен, — а положителен, а = ( 0 ) . Пусть ни а, ни — а не по­ ложительны. Берём последовательность {а \ класса а и рациональное число е } > 0 . В силу фундаментальности {а \ существует Й такое, л п п 0 0 п п 0 что \а — а | < С у Р р 9 п и любых р, д^>п . 0 Так как а не положителен, т о существует s ^ > « такое, 0 то существует г^>п 0 такое, что а г ^ у . Так к а к — а не положителен п 9 и содержит последовательность { — а } ч т о — а , з ^ ~ - . Тогда при любом п^>п n r r r 0 будет одновременно |a„—а |<е г a = e + (a„ — a ) ^ a + и — — а )~ П a ^ \ a — a„| + ( — a,)