* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

208 ПОНЯТИЯ МНОЖЕСТВА, ГРУППЫ, КОЛЬЦА и поля По теореме из § 19 это отношение определяет разбиение мно­ жества М на классы эквивалентных последовательностей- Будем обозначать эти классы малыми греческими буквами а, {3, у, 8, - . . О п р е д е л е н и е 2. Пусть Ь есть множество всех классов, эквивалентных последовательностей множества М. Суммой (про­ изведением) двух классов а и (3 назовём тот класс а — р (соот­ — J ветственно а|3), который содержит сумму (произведение) последо­ вательности класса а и последовательности класса (3. Класс а назовём положительным, если последовательность этого класса положительна. Покажем, что сумма, произведение и свойство класса быть поло­ жительным не зависят от выбора представителей данных классов. Пусть и \c \~{d \. Тогда \хт(а —Ь ) = 0 и lim (с — d ) = 0, откуда 0 n n п п п n lim \(а + с ) п п п п (Ь + d )\ = lim (а п n п n n Ь ) + lira (с п п d ) = 0, n т. е. {а + с }~ \b + d \. Так как последовательность { с } — фундаментальная, то она ограничена. Поэтому существует рациональное число с ^ > 0 такое, что \с \<^с при любом п. Пусть теперь дано рациональное число п п е ] > 0 . Существует п Тогда 0 такое, что \а —&„|<С"~ п с П Р И любом п^>п . 0 \Wn — V * ! = !<*„ — * „ | - | с „ | < ~ с = е при любом л ^ > « . Следовательно, l i m ( a c — Ь с ) = 0, т. е. 0 n n п п Применяя доказанное и очевидную коммутативность последовательностей, находим: умножения Наконец, если последовательность \а ) положительна и { а „ } ~ ~{Ь \, то существует рациональное е ] > 0 и натуральное n такие, что {а \^>е при любом п^>п . Далее, для данного е существует п п t п % л 0 такое, что \а — п и а —при любом п^>п г Если я — большее 0 из чисел п « , то, применяя свойство абсолютных величин |e —ft|^||o|-|ft|| [§ 10, (3)], находим \bn\ = \a — (a ~b )\^\\a \ n n n n а — \a -b \\ n n = = \ п\ — К — 6 „ | > е — 2 = "2"