* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

ПОЛЕ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ 207 р, q^>rt i числа п р 9 х и п ч такие, что \а — р а \<^-^ д при любых 0 и чи­ | Ь —* |<^упри сел л , то 9 любых р, д^>п^. Если я — большее из l(«p+*p)-K+^)l^l pQ a f l 9 H-l*p-^l< п п e при любых p,q^>n , т. е. последовательность \а -\-Ь ] — фунда­ ментальная. В случае умножения сначала докажем, что любая фундаменталь­ ная последовательность {с \ ограничена (§ 24, определение 2). В самом деле существует и такое, что \с — с \<^1 при любых p q^>n . Тогда п 0 р д t 0 к1 c = |(с — п C„ +l) + C n o + l | ^ | C 0 n — С Л о + 1 [ + I C^+j | < 1 + I С Я Р + 1 1 при любом w ^ > « - Беря рациональное число с, большее всех \ i\> l 2 l » « - - i \ n \t I j - | - 1 (например, сумму всех этих плюс 1), получим \с \<С^с при любом я . Итак, существуют рациональные числа а и Ь такие, что \ и \b \<^b при любом я . Пусть дано рациональное число 0 c c 0 п n чисел чисел а \<^а е^>0. п Существуют натуральные числа п при любых р, q^>n 0 x p q х и п г такие, что \а — р П И a \<^-^q и \b — b \ <С~^~ Р 1Р любых р, q^>n%. Если я — большее из чисел п IРР а Ь п %9 то — яя а ъ I = I (РР а Ь — а А ) + ( « А — * А>"1 ^ e # n , т. е. последовательность — фундамен­ тальная. Последовательность \а \ из Ж назовём положительной, если существуют рациональное число е ^ > 0 и натуральное число я такие, что а „ } > е при любом я ^ > я . Отношение эквивалентности последовательностей (1) обладает основными свойствами равенства (§ 19). Именно: !) {<* }~\а \, ибо Н т ( а „ — а ) = 0. 2) Если то ибо если lira ( а — £ ) = 0, я то Н т ( * — а ) = 0 в силу 1 а — Ь \ = \Ь — а \. 3) Если { a „ } ~ { * } и {Ь }~{с \, то {а \~{с \, ибо если l i m ( a — b ) = 0 и Н т ( 6 л — с ) = 0, то также 0 0 п {М~{£ }, п п n {М~{М, я я п п п п п л я п п п п n n Игл (а — с ) = lim [(a„ - ft ) + (b п п n n я я я с )] = п л = Нт(а —£ ) + Н т ( * - с ) = 0 + 0 = 0 [§ 24, теорема 2, б)].