* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

ПОЛЕ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ п 209 при любом n^>rto, т. е. последовательность {Ь \ также положи-* тельна. Итак, определение 2 действительно вводит во множество D опе­ рацию сложения и умножения, и положительность класса из D опре­ деляется любой из его последовательностей. Т е о р е м а 4. Множество D при операциях сложения и умно­ жения и определении положительности, указанных в определе­ нии 2, является непрерывным полем (§ 24, определение 6). Д о к а з а т е л ь с т в о . Нужно проверить выполнение в D всех свойств I — X I I (см. § 7, определение 1, § 8, определение 1, § 10, определения 1 и 3, § 24, определение 5). Так как операции (2) и (3) над последовательностями определены через операции над их элементами, то из выполнения свойств кольца I — V I для рациональ­ ных чисел следует их выполнение для множества М, а потому и для множества D . Итак, М и D — кольца. Выясним, какой смысл имеют в кольце D нуль и противополож­ ный элемент. Очевидно, что нулем в D будет класс, содержащий фундаментальную последовательность { 0 } = 0, 0, 0 , . . . Мы его обо­ значим через (0). Этот класс состоит из всех последовательностей \а \ эквивалентных { 0 } , т. е. таких, для которых lima„ = 0. Мы будем называть их нулевыми последовательностями. Любая после­ довательность класса (0) эквивалентна { 0 } и потому нулевая. Обратно, любая нулевая последовательность, как сходящаяся, фундаментальна и эквивалентна {О}, а потому принадлежит классу (0). Класс — а , противоположный классу а, содержащему последова­ тельность { а } , содержит, очевидно, последовательность { — а \ , противоположную { а } , и все последовательности, эквивалентные {—а \. Из а — Ь = — [(—а ) — (—Ь )] легко следует, что если { п \ ~ \ Ь }> то { — а } ~ { — Ь \, и обратно. Таким образом, класс — а состоит из всех последовательностей, противоположных последовательностям класса а. Свойство V I I поля уже не следует, как выше I — V I , прямо из аналогичного свойства чисел. В самом деле, если не все члены после­ довательности { а \ из М равны нулю, то { а } отлична от после­ довательности { 0 } , являющейся нулём кольца М. Но если ещё а, = 0, то уравнение { а }•{ х } = {Ь } при Ь =£0 неразрешимо. Следовательно, кольцо М не является полем. Тем не менее Do бу­ дет полем. Пусть а и р — классы из D , причем azfi(0). Берем \а \ из а и { Ь } из р. Существуют рациональное число с ^ > 0 и нату­ ральное п такие, что | а „ | ^ > а при любом п^>п . Допуская про¬ тивное, для любого е ^ > 0 найдем р такое, что \а — q\ C*~2 Р 0 0 0 0 Q 0 0 0 п у п п п п п п п п а п п п п п п п п г 0 п п х % a < П И п любых п, q^>pполучим Затем берём q^>p a такое, что | « | < ^ - 2 • Тогда ff a = в К 1 = |(«п — 14 + — q\-\ri q\< 2"+2" Эыциклоиедня, ки» 1,