* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

200 ПОНЯТИЯ МНОЖЕСТВА, ГРУППЫ, КОЛЬЦА И ПОЛЯ В Р она вообще не может иметь предела, так ф/ндаментальной. В самом деле, при р ф q число 11-1 и рационально. Таким образом > о — как не будет — L > - Легко видеть, что в IP q i & поле Р последовательность рациональных чисел \а \ фундаментальна тогда и только тогда, когда она становится стационарной, т. е. существует рациональное а и л такие, что а = а при лю­ бом п^>п . Тогда, очевидно, l i m a = a. Таким образом, перенося операцию предельного перехода с поля Р на подполе Г, мы по­ лучим полное поле, хотя Г неполно в смысле данного выше опре­ деления 5. Тем не менее в одном случае введённые в этом параграфе понятия остаются абсолютными. Именно: Т е о р е м а 5. Для того чтобы понятия предела и фундамен­ тальной последовательности в поле Р совпадали с теми же поня­ тиями в любом его подполе Р, необходимо и достаточно, чтобы расположение поля Р было архимедовским ). Д о к а з а т е л ь с т в о . Если поле Р расположено неархимедовски, то существует элемент с такой, что п<^с для любого натурального п. Так как поле рациональных чисел Г архимедовски расположено, то а <^ с для любого рационального а. Тогда при а ^ > 0 и рациональном, п 0 п 6 n 1 1 * 1 1 умножая а<^с на — > 0 , н а й д ё м — < ^ — , т. е. 0 г д е Ь = ~ — л ю б о е рациональное положительное число. Очевидно, после­ довательность я = 1 , 2, 3, рациональных чисел в поле Г сходится к числу 0 и потому фундаментальна. Но та же последо­ вательность в поле Р не является фундаментальной и потому не имеет предела. В самом деле, берём: е = — ] > 0 . будет: вом Тогда 0 при р-ф-q ^ ^ > е . Стало быть не существует числа п со свойст­ —"^l^ Р ^ 6 П И лю ых Р и Ч* ббльших Й . Необходимость 0 доказана. Пусть теперь поле Р архимедовски расположено. Покажем неза­ висимость свойства последовательности \а \ быть сходящейся или п ) Из доказательства этой теоремы следует, что архимедовость располо­ жения поля Р необходима даже для того, чтобы попятия предела и фунда­ ментальной последовательности совпадали в поле Р и содержащемся в пем поле рациональных чисел Г. Другими словами, если фундаментальные и сходящиеся последовательности в поле Г остаются такими же и в поле Р, то поле Р архимедовски расположено. Этим мы воспользуемся в начале сле­ дующего параграфа. 1