* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

ПОЛЕ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ 199 ниго подполя (§ 8, определение 3) сохраняется и в поле Я. Обратно, если а-\-Ь = с в Я, причем элементы а, Ь с входят в Я , то и в Р будет а 4" Ъ = с. То же верно для отношения ab = с. Если поле Я расположено, то этим порождается расположение Я'. Именно, счи­ таем а ^ > 0 в Р тогда и только тогда, когда д > 0 в Р . Легко ви­ деть, что спойства расположения IX и X (§ 10, определение 1) будут в Р выполнены, т. е. Р будет расположенным полем. Такое свой­ ство расположения Р быть архимедовским не зависит от того, рассматриваем ли мы Р само по себе или как подполе поля Я. В самом деле, отношение пе^>а для элементов е и а из Р тогда и только тогда имеет место в Я , когда оно имеет место в Р (при условии совпадения порядка). В этом смысле понятия, введённые в главе I I , являются абсолютными. Они не зависят от объемлющего поля. Поня­ тия же данного параграфа, указанные выше, зависят от поля, в ко­ тором данные элементы рассматриваются, и в эгом смысле эти понятия относительны. Так, отношение Мта = а означает, что для любого элемента е ^ > 0 из поля Р существует натуральное число е л такое, что \а — б|<С при любом п^>щ. Определение фунда­ ментальной последовательности также содержит упоминание любого элемента е ^ > 0 поля А Но запас этих элементов е зависит от выбора поля Я', и нет основания ожидать, что если все эти элементы после­ довательности \а \ и а входят в подполе Р поля Я, то смысл отно­ шения l i m a = a и свойство фундаментальности последовательности \а \ в Я и в Я' будут совпадать. Ясно лишь, что из выполнения одного из условий в Я следует его выполнение в Я , ибо то, что верно для любого в^>0 из Я и для данных элементов из Я , останется верным, в частности, и для любого е^>0 из Я ; но обратного заключить нельзя. Покажем на примере, что это действи­ тельно так. Пусть Я — п о л е рациональных функций (т. е. алгебраических fix) дробей) ^АЛ» / ( • * ) ё( ) — многочлены с рациональными коэф9 п 0 п п n п 4 г д е 11 х фициентами. Считая функцию коэффициенты многочленов f(x) получим расположение поля А как при любом натуральном 1 6\ ) х f (\ х положительной, если старшие и g(x) имеют одинаковые знаки, Оно не будет архимедовским, так х п будет х — п = х ^ п ^ > 0, откуда п-1<^х. Итак, х больше всех рациональных чисел. Если а^>0 рационально, то и аГ ^>0 рационально и а~ <^х. Умножая на - ^ ] > 0 , найдём — < ^ а . Итак, — меньше всех положительных рациоX X X нальных чисел. Поле Я содержит подполе Г рациональных чисел. В Г последовательность{—1, п — \ 2, 3, сходится к числу 0 и, следовательно, фундаментальна, но в поле Я будет 9 п п ^ X при любом п и 0 уже не будет пределом этой последовательности. 9