* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

ПОЛВ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ п 201 фундаментальной от подполя Р , содержащего элементы а и (для случая сходимости) предел a = lima„. Из выполнения этих свойств в Р следует их выполнение в Р. Пусть, например, l i m a = a в Р. Покажем, что то же будет и в Р . Берём любой элемент е ^ > 0 из Р . Так как Р архимедовски расположено, то существует натураль­ ное й * > —, откуда 0 < — = е'<^е. Число е'^>0 входит в любое n подполе поля Р, а следовательно, и в Р ' . Так как в Р дано lima„ = a, то существует натуральное п такое, что \а — a | < V < ^ e при лю­ бом п^>п . Это означает, что \\та — а также и в поле Р . Тео­ рема доказана. * , О п р е д е л е н и е 6. Полное, архимедовски расположенное поле называется непрерывным. В непрерывном поле задачи об отношении отрезков и извлече­ нии корня из положительного элемента всегда разрешимы. К задаче об извлечении корня мы ещё вернёмся в § 26. Скажем несколько слов об отношении отрезков. Если бы нам удалось расширить поле рациональных чисел Г до непрерывного поля Р * то по последней теореме последовательности рациональных чисел \а \ и \Ь ], постро­ енные выше для данных отрезков АВ и MN, были бы фундамен­ тальными не только в Г, но и в Р . Так как поле Р полно, то они имели бы общий предел с [теорема 2, а)]. Элемент с по определе­ нию можно принять за отношение данных отрезков, т. е. считать, что MN:AB=c или MN=c-AB. Это новое определение отноше­ ния в случае соизмеримых отрезков согласуется, как выше пока­ зано, с прежним определением (см. конец § 23). Но, в то время как прежнее определение годилось лишь для соизмеримых отрезков, новое определение даёт определённый элемент поля Р для любых отрезков независимо от их соизмеримости. В этом смысле задача об отношении отрезков разрешима в непрерывном поле Р . Мы рас­ смотрели эту задачу лишь для иллюстрации важности понятия непре­ рывного поля и не можем остановиться на этой геометрической задаче подробнее. Заметим уже без доказательства, что определённое выше отно­ шение отрезков обладает всеми нужными свойствами. Именно, для любых отрезков АВ и CD и любых элементов с ^ > 0 и d^>0 непре­ рывного поля Р будет: а) из c<^d следует: c-AB<^d-AB; б) (c-\-d)AB=cAB-\-d-AB\ в) c(AB-\-CD) = c-AB + c-CD. 0 п 0 п п п Далее, для любого отрезка АВ и любого элемента с ^ > 0 из Р суще­ ствует отрезок MN такой, что MN:AB = c. К задаче о длине отрезка сводится задача о длине окружности. Мы строим две последовательности правильных многоугольни­ ков (вписанных и описанных) путём удвоения числа сторон. Зная