* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки
164
ПОНЯТИЯ МНОЖЕСТВА, ГРУППЫ, КОЛЬЦА
и поля
О п р е д е л е н и е 2. Пусть С есть множество всех классов эквивалентных пар множества М* Суммой (произведением) двух классов а и р назовём тот класс а-{-$ (соответственно а$), который содержит сумму (произведение) пары класса а и пары класса (В. Как всегда при определении операций над классами через опе рации над представителями этих классов, надо показать, что резуль тат операции не зависит от выбора представителей. Это следует, очевидно, из такой теоремы: Т е о р е м а 5. Если
0
(а , b )^(a
х l
if
Ьъ) и
и 2
(c
Xl
d )~(c ,dj)
x % s 2 2
9
то (а» Ь )-\-(с
х
d , ) ~ ( a , 6 ) - f ( c ,
d),
2 г х 2 2 2
откуда (e
lP
b )(c
x
9
d ) ~ ( a , 6 )(c, rf).
2 2
Применяя дважды только что доказанные законы коммутатив ности сложения и умножения пар, найдём:
( a „ b )(c
x
X9
d )~(a
x
29
b^)(c
X9
d )~(a
x
29
6 )(c , d ) .
2 s 2 ф
Итак, определение 2 действительно вводит во множестве С классов эквивалентных пар однозначно определённые операции сло жения и умножения. Т е о р е м а 6. Множество С с операциями, указанными в опре делении 2, есть кольцо.
0
