* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

КОЛЬЦО ЦЕЛЫХ ЧИСЕЛ 0 165 Д о к а з а т е л ь с т в о . Нужно проверить выполнение в С аксиом I — V I (§ 7, определение 1). Так как операции в С определены для классов через представителей этих классов, то выполнение аксиом I , I I , IV, V и V I следует из теоремы 4. Займемся аксиомой I I I . Пусть даны две пары (а, Ь) и (с, d). Если бы существовала пара (х у), для которой (а, Ь)-\-(х у) = = ( с , d), то а-\-х=с b-{-y=d т. е. а<^с b<^d. Поэтому, если имеет место хотя бы одно из условий а^с b^d, то такой пары (х у) не существует. Таким образом, вычитание пар не всегда возможно, т. е. сами пары кольца не образуют. Тем не менее С будет кольцом. Пусть а и 0 два класса из С , причём а содержит пару (а, Ь) и |J — пару (с, d). Надо найти класс у такой, что а —[- у = Р - Если (х у) — пара искомого класса у, то вовсе не нужно, чтобы выполнялось равенство (а, Ь) (д;, у) = (с, d) а до­ статочно лишь эквивалентности (a, b)-\-(x у)^(с d). Пред­ положим сначала, что пара (х у) с этим свойством существует. Тогда (а-\~х b-\-y)~(c, d) откуда a-\-x-\-d = b-\-y-\-c или (а 4 " d)+*=(b -\- с) У- По определению эквивалентности (2) 0 й 9 9 9 9 9 9 0 0 9 9 9 9 9 9 t По теореме 5 достаточно проверить, что хотя бы одна пара (лг, у) с этим условием обладает требуемым свойством, т. е. удов­ летворяет соотношению (a, b)-\-(x у)~(с d). Но сама пара (b-\-c a-\~d) обладает нужным свойством. Действительно, 9 9 9 (а, + + a ±d) = (a-\-b-\-c 9 b + a-\-d)~(c, d). Этим доказано существование класса у, для которого а - | - у = р. Теорема доказана. Из существования класса у со свойством а - | - Т = Р вытекает его единственность (§ 6, теорема 1). Выясним, какой смысл имеют в кольце С нуль и противополож­ ный элемент. Нуль по его определению — такой класс 0, что а-\-0=а для любого класса а. Если а содержит пару (а Ь) и 0 — пару(д;, у) то должно быть (a, Ь)-\-(х у)~(а Ь). Отсюда, как в доказатель­ стве последней теоремы, с заменой (с, d) на (а Ь) получим: 0 9 9 9 9 % (х 9 у)~(Ь + а a + b) = (a-\-b 9 9 a-\-b) = (k 9 ft). По (2) любая такая пара действительно удовлетворяет условию (a, b) + (k 0 9 ft)~(a, b). Итак, нулём кольца С является класс 0, содержащий все пары с равными элементами. Противоположный элемент для класса a — это такой класс — а , для которого а - | - ( — а ) = 0 . Если а содержит (а, Ь) и — а содер­ жит (х, v), го (с, b)-\-(x y)=(k ft). Здесь можно писать не ~ , а = , так как по (2) пара, эквивалентная паре (ft, k) сама имеет 9 9 9