* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки
КОЛЬЦО ЦЕЛЫХ ЧИСЕЛ
163
равными (а— Ъ = с— й, если a -\-d = b-\-c), что не согласуется с нашим условием понимать под равенством элементов любого множества их совпадение, а, во-вторых, мы желаем сохранить обо значение а — b за операцией вычитания в искомом кольце. За исходный элемент конструкции примем пару a, b натураль ных чисел, взятых в данном порядке. Пусть М — множество всех таких пар. Определим отношение эквивалентности пар так, чтобы разности чисел эквивалентных и только эквивалентных пар были равны одному и тому же элементу искомого кольца. Согласно (1) определяем эквивалентность так: (а, b)~(c
9
d)
9
(2)
тогда и только тогда, когда a-\-d = b-\-c. Далее, определяем сложение и умножение пар так, чтобы в искомом кольце этим операциям соответствовали сложение и умно жение разностей чисел, образующих данные пары. Согласно б), г) мы поэтому определяем: (а, *) + (<:, d) = (a + c, b-\-d), (a, b)(c
9
(3) (4)
d) = (ac-\-bd
9
ad-{-be).
Т е о р е м а 4. Сложение и умножение пар коммутативны, ассоциативны и связаны законом дистрибутивности. Д о к а з а т е л ь с т в о . Эти свойства вытекают из соответствую щих свойств натуральных чисел и доказываются непосредственной проверкой. Докажем, например, ассоциативность умножения: [(а Ь)(с, d)](e,f)=(ac + bd, ad-\-bc)(e f) = = (асе bde -|- adf-\~ bef, acf-\-bdf-{~
9 9
ode -|- bee);
(a b)[(c d)(e f)]=(a
9 9 9
9
b)(ce + df
9
cf + de) =
— (ace 4 - adf -\- bef -\- bde, acf -|- ade-\-bce -\- bdf). Получившиеся в итоге пары равны, т. е. [(a, b)(c
9
d)](e
9
f) = (a b)[(c
9
9
d)(e
9
f)\.
Отношения эквивалентности пар (2) обладают свойствами 1)—3) из теоремы § 19. Действительно, 1) (a, b)~(a,
9 9 9
Ь), ибо a-\-b =
b-\-a.
2) Если (а b)~(c d) то (с, d)~(a, b), ибо если a-\-d = = b-\~c, то c-\-b = d-\-a 3) Если (а b)~(c, d) и (с, d)~(e f) то (а, b)~(e f), ибо, складывая равенства a-\~d = b-\-c c-\-f=d-\-e, получим: а-{-|- d -\- с -}-/= Ь -[- с -|- d -\- е, откуда а / = Ъ -\- е (§ 14, теорема 3). Итак, отношение эквивалентности определяет разбиение мно жества М всех пар на классы эквивалентных пар. Будем обозна чать эти классы малыми греческими буквами ос, (3, у, 8 , . . . ii *
9 9 9 9 9
