* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

162 ПОНЯТИЯ МНОЖЕСТВА, ГРУППЫ, КОЛЬЦА И ПОЛЯ Тогда положим / ( г , ) = с£ с не зависит от выбора чисел а и Ь. В самом деле, если также с = с— d, то а — Ь = с — d и по (1) a-\~d = b-\~c следовательно, и в С также а — b = c— d. Если с фй то по (1) также /(с )Ф/(й ). Любой элемент с £С равен разности натуральных чисел и то же верно для С . Итак, / — в з а ­ имно однозначное отображение С, на С . Из б), г) следует, что 2 х t 2 х %% х х х х 2 2 f(c x + d )=f(c )+f{d ) x x x x и f(c d )=f(c )f(d ) x x x x 2 для любых С], d из С,, т. е. / — и з о м о р ф и з м колец С, и С (§ 9, определение 2). Рассмотрим, например, первое из этих равенств. Если в Cj имеем: с = а — b, d =c — d то в С будет: х x t 2 f(c ) x = a — b, f(d ) x = c— d 9 откуда f(c )+f(d ) x x = {a-b) + (c-d) = (a + c)-(b + d), 2 + d), но в С х ci + d = (a + c)-(b x x x x x т. е. элементы c -\-d £C и - | - f ( d ) 6 С равны разности одних и тех же натуральных чисел а-\~с и b-\-d. Это следует из определения / и, таким образом, / ( c , + < * i ) = / ( q ) + / № ) - Аналогично доказывается и второе соотношение. Теорема доказана. З а м е ч а н и е . Изоморфное отображение / обладает ещё тем свойством, что на множестве N оно является тождественным, т. е. при этом отображении С на С каждое натуральное число отобра­ жается само на себя. В самом деле, при с ~а— Ъ в С и с = а—b в С элементы с и с тогда и только тогда будут сами натураль­ ными числами, когда а^>Ь. При этом c^=f(c ) = a— b = c * Т е о р е м а 3. Любое кольцо R, содержащее множество нату­ ральных чисел N, содержит и кольцо целых чисел. Д о к а з а т е л ь с т в о . Пересечение всех подколец кольца R, содержащих JV, есть опять подкольцо (§ 8, теорема 6), содержа­ щее N, и при этом минимальное, так как оно входит в любое под­ кольцо, содержащее N. Согласно определению 1 это подкольцо будет кольцом целых чисел. Мы ещё пока не доказали существования кольца целых чисел, так как не построили ни одного примера (ни одной интерпретации) этого понятия. Перейдём теперь к построению такого примера. Конструкция одного из изоморфных колец целых чисел под­ сказывается теоремой К Если С—кольцо целых чисел, то элемен­ тами С будут разности натуральных чисел. Можно было бы за элементы искомого кольца принять самые символы этих разностей а — Ь но, во-первых, два таких символа, различных между собой, должны были бы считаться при некоторых условиях согласно (1) х 2 х х 2 2 х 2 t x %