* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

НАТУРАЛЬНЫЕ ЧИСЛА 139 что снова противоречит теореме 4. Докажем, что хотя бы один из этих случаев всегда имеет место. Пусть выбрано число а, и М—множество тех Ь, для каждого из которых при данном а имеет место 1), 2) или 3). А) Если а = 1, то имеем случай 1) для 6 = 1. Если аф 1, то по теореме 2 из § 11 a—k —k-\-1 = 1 + А , т. е. имеем случай 2) для b = l. Итак, 1 принадлежит М. Б) Пусть 6 .принадлежит Ж . Тогда или а=Ь, и следовательно, £ ' = £ + 1 = c - f - 1, т. е. случай 3) для b \ или а = * + А, и если А = 1 , то а=Ь-{-1=Ь\ т. е. случай 1) для Ь'\ если ж е кф1, то k = m' и 9 f a —fc + m' = 6 + ( w + l ) ^ 6 + ( l + т ) = ( 6 + 1 ) + /и = 6' + т. е. случай 2) для или £ = а + / и ft' = (a + / ) ' = a + f, т, т. е. случай 3) для V. Во всех случаях Ь' принадлежит М. Теорема доказана. Пользуясь этой теоремой, можно было бы уже теперь дать опре­ деление порядка и доказать основные его свойства (см. § 14), но мы рассмотрим сначала свойства умножения, чтобы затем сразу рассмотреть связь понятия порядка с обеими основными операциями. З а д а ч а . Определив натуральные числа 2 = Г, 3 = 2', 4 = 3', 5 = 4', 6 = 5', доказать на основании определения суммы, что 1+ 1=2, 1 + 2 = 3, 2 + 2 = 4, 2 + 3 = 5, 2 + 4 = 3 + 3 = 6. § 13. Умножение О п р е д е л е н и е . Умножением натуральных чисел называется такое соответствие, которое с каждой парой натуральных чисел а и b сопоставляет одно и только одно натуральное число ab (или а * b или а X Ь), обладающее следующими свойствами: 1) а • 1 = а для любого а; 2) ab'=ab-\-a для любых а и Ь. Число а называется множимым, b—множителем, оба числа а и Ъ называются также сомножителями, а число ab — произ­ ведением. На первый взгляд может показаться странным, зачем давать это и н д у к т и в н о е определение, вместо того чтобы остаться при всем известном школьном определении произведения ab как суммы b слагаемых, каждое из которых равно множимому а. Но что означает выражение *Ь слагаемых», где Ъ выступает в роли к о л и ч е с т в е н ­ н о г о числительного? Количество слагаемых имеет лишь один точный смысл, именно, — это мощность некоторого множества