* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

140 ПОНЯТИЯ МНОЖЕСТВА, ГРУППЫ. КОЛЬЦА и поля (см. § 3, определение 4). Правда, для конечных множеств (с кото­ рыми мы и имеем дело при определении умножения) мы дали другое определение «числа элементов» (см. § 4, определение 3) и доказали, что оно совместимо с понятием числа элементов как мощности множества, но мы существенно использовали при этом понятие отрезка | 1 , л | натурального ряда как множества натуральных чисел, не превосходящих «. Это понятие предполагает уже установлен­ ным порядок во множестве натуральных чисел; правда, мы могли бы определить порядок до умножения и установить с помощью определения 3 из § 4 соответствие, позволяющее отождествить натуральные числа с мощностями конечных множеств. Это дало бы натуральным числам количественный характер. Однако арифметика натуральных чисел в этом не нуждается. Всю её можно построить, не используя понятия о мощности, а лишь на основе определения 1. Построенные таким путём натуральные числа называют порядко­ выми числами в отличие от мощностей, называемых количествен­ ными числами. Для того чтобы теория натуральных чисел не осталась пустой логической игрой, а стала тем основным орудием практической дея­ тельности человека, которым она на самом деле является, необхо­ димо установить соответствие между мощностями конечных множеств и независимо от них построенными порядковыми натуральными числами, придав им тем самым количественный смысл. В этом и состойт значение определения 3 и теоремы 2, на которой оно осно­ вано, приведённых в § 4. Относительно определения умножения сохраняют силу все заме­ чания, которые были сделаны в предыдущем параграфе по поводу определения сложения. В частности, из него ещё неясно, что соот­ ветствие с этими свойствами существует. Поэтому большое прин­ ципиальное значение имеет следующая теорема, аналогичная теоре­ ме 1 из § , 12. Т е о р е м а 1. Умножение натуральных чисел существует и притом только одно. Иными словами, умножение всегда выпол­ нимо и однозначно. Д о к а з а т е л ь с т в о , а) Сначала докажем, что при данном а существует не более чем одно соответствие, сопоставляющее с каж­ дым числом b число х и обладающее свойствами х =а, х& =х ~\-а для любого Ь. Пусть у — любое соответствие с теми же свой­ ствами и М — множество тех Ь, для которых х =у . A) x = a=y ; 1 принадлежит М. Б) Если Ъ принадлежит М, то хь* =х -\-а=у -\-а=уь*\ V принадлежит М. По аксиоме IV х =у для любого Ь. Единственность умножения доказана при данном а, а по произвольности а она доказана для любых а и Ь. б) Покажем теперь, что при данном а существует [и согласно а) только одно] соответствие, сопоставляющее с каждым b число ab и обладающее свойствами а • 1 =а, ab' = ab-]-a для любого b (при ь х ь ь ь ь l l ь ь ь ь