* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

ГРУППЫ, КОЛЬЦА и поля 129 причём равенство имеет место тогда и только тогда, когда либо а ^ О , Ь^О, либо а а ^ О , Ь^0 а также доказать, ч ю 9 \аЬ\ = \а\-\Ь\. Если а ^ О и Ь^О, то также а-\-Ь^0 и (2) ie+*i=e+*=iei+i*i. Если а г £ О и />г£0, то — a S = 0 , откуда ie+*i=-(e+*)=(-e)+(-*)=i«:+!*i. Итак, в этих двух случаях (1) имеет место при знаке = . По симметрии а и Ь в (1) из двух оставшихся случаев а ^ > 0 , Ь<^0 и а < ^ 0 , fe^>0 достаточно разобрать лишь первый. По теореме 2, прибавляя а к неравенству Ь<^—Ь получим: 9 — f c ^ O и - ( а + 6) = ( - а ) + (-*)3*0, в + А < а + ( — * ) = |в| + | Н Точно так же, прибавляя — Ь к неравенству — а<^а, -(а+Ь) = (-а) + (-Ь)<:а + (-Ь) = \а\ + получим: \Ь\. Но |а-{~*1 совпадает либо с а-\-Ь, либо с — ( а - \ - Ь ) . Поэтому 1«+*]01+1П Итак, в этих двух случаях (1) имеет место при знаке Равенство (2), очевидно, выполнено, если хотя бы один из эле­ ментов a, b равен нулю. Остаётся разобрать три случая: 1) а > 0 , 6 > 0 . П О свойству X ab^>0 и \ab\=ab = \a\-\ЬК 2) а < 0 , £ < 0 , — а > 0 , — * > 0 , (— а ) ( — fc)>0 и по пра­ вилу знаков (3) из § 7 |e*| = j ( — а ) ( — * ) | = (— а ) ( — Ь) = 3) а > 0 , *<0, — *>0, а(—Ь)>0, = \а\.\Ь\. \а\.\Ь\. \аЬ\ = \ — аЬ\ = \а(—Ь)\=а{—Ь) Из неравенства (1) следует М —1*1 | в | а ± * К | а | + | * | (3) для любых элементов а и b расположенного кольца /?. В самом деле, так как а-\-Ь = а — (—Ь) и | £ | = | — b\ то достаточно t 9 Энцикаоиедал, кн. 1.