* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

130 ПОНЯТИЯ МНОЖЕСТВА, ГРУППЫ, КОЛЬЦА И ПОЛЯ доказать (3) для случая разности а — 6. Но из а = (а — b)-\-b b=(b — а)-\-а по (1) найдем: | a | s S | a — £ | + |*Ч и \b\^\b-a\-\-\a\ откуда \a\ — \b\^\a поэтому ie|—i*i ! « | в и = \a-b\ и + \a\, — b\ \b\ — \a\**z\a — b\; | + | н - * | = | в + ( - * ) К | в З а м е ч а н и е . Точно так же известные из элементарной алгебры правила сравнения и действий над «относительными числами» через сравнение и действия над их абсолютными величинами остаются справедливыми для любого расположенного кольца R. Именно, положительный элемент кольца R больше отрицатель­ ного, что ясно из сравнения с^нулём. Из двух положительных эле­ ментов тот больше, абсолютная величина которого больше, ибо положительные элементы совпадают с их абсолютными величинами. Из двух отрицательных элементов тот больше, абсолютная величина которого меньше. В самом деле, если а и b отрицательны, то а — b = (—Ь) — ( — а ) = | 6 | — \а\ и поэтому а^>Ь тогда и только тогда, когда | а | <^ | b |. Если по симметрии с обозначением элемента, противоположного а, через — а обозначить сам элемент а через -|- а, то каждый элемент можно выразить через его абсолютную величину так: а = ±\а\ где знак - | - берётся для положительного и — для от­ рицательного элемента а. В этом смысле можно говорить о знаке данного элемента. Тогда имеют место следующие правила действий. Чтобы сложить два элемента одного знака, надо сложить их абсолютные величины и поставить тот знак, который имели слагае­ мые. В самом деле, если а ^ > 0 и 6 ^ > 0 , то это очевидно; если же а < 0 и * < 0 , то я + 6 = ( - | а | ) + ( - | * | ) = - ( | а | + | * | ) . Чтобы сложить два элемента разных знаков, надо из большей абсолютной величины вычесть меньшую (при равенстве абсолютных величин сумма равна нулю) и поставить знак того слагаемого, у которого абсолютная величина больше. Пусть а^>0 и Ь<^0. Если | д | ^ > 1 * | , то 9 а + Ь = а-(-Ь) Если ж е |а|<С1*1» т о = + {\а\-\Ь\). а + Ь= - { - Ь - а ) = - { \ Ь \ - \ а \ ) . Чтобы из одного элемента вычесть другой, надо к первому элементу прибавить элемент, противоположный второму. Это верно даже для любых колец.