* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

128 ПОНЯТИЯ МНОЖЕСТВА, ГРУППЫ, КОЛЬЦА И ПОЛЯ Т е о р е м а б. Характеристика (см. § 8, определение 2) рас­ положенного поля Р равна нулю. Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть афО, а£Р. Если а ] > 0 , то но свойству X для любого натурального п также л а ^ > 0 , а так как (—п)а=—па, то пафО при любом целом п. Если с < [ [ 0 , то — а^>0 и п(—а)фО, при любом целом п. Значит, пафО, если афО и п ф 0. Т е о р е м а 7. Сумма квадратов (и, в частности, всякий квад­ рат) конечного числа элементов расположенного кольца больше или равна нулю, причём равенство может иметь место лишь в том случае, когда все данные элементы равны нулю. Д о к а з а т е л ь с т в о . Для одного элемента, если а = О, то я? = 0. Если же а фО, то или a ^>0, или — a j ^ > 0 и тогда х 1 i а\ = а а = (— а ) (— а,) > 0. г х х Для п= Тогда 1 теорема верна. п\-1 Пусть п она верна для п элементов. Уа1 = ^а^а% ^0, И как сумма неотрицательных слагаемых (см. свойство X). Если одно из двух слагаемых ^ > 0 , то и сумма их ^ > 0 . Значит, в случае ра­ венства нулю оба слагаемых равны нулю, т. е. я У а] = 0 и a£ t = 0 . H Отсюда по доказанному а = 0 и по предположению индукции Я | = а = . . — а = 0. О п р е д е л е н и е 2. Абсолютной величиной элемента а рас­ положенного кольца (и, в частности, поля) называется неотри­ цательный из элементов а и — а. Абсолютная величина элемента а обозначается через \ а!. Согласно этому | 0 | = 0 и при афО всегда | а | ^ > 0 . Т е о р е м а 8. Абсолютная величина суммы конечного числа элеиентов меньше или равна сумме абсолютных величин слагае­ мых. При этом равенство имеет место тогда и только тогда, когда все слагаемые неположительны или все неотрицательны. Абсолютная величина произведения конечного числа элементов равна произведению абсолютных величин сомножителей. Д о к а з а т е л ь с т в о . Ограничимся случаем двух элементов, так как проведение индукции не представляет затруднений. Итак, надо доказать, что \a + b[^[a\ + \b\, (1) тХ я я п