* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки
ГРУППЫ, КОЛЬЦА и
ПОЛЯ
127
Д о к а з а т е л ь с т в о . В теореме 2 посылки а) обладают тем свойством, что одна (и только одна, что сейчас неважно) из них наверное имеет место, а следствия [в каждом случае б), в), г) отдельно] — тем свойством, что они взаимно исключают друг друга, Для теорем такого рода обратные теоремы всегда верны, причём их можно доказать методом «от противного». Докажем, например, что из ас = Ьс следует а = Ь при с ^ > 0 . Предположим противное, что афЪ. Тогда имеет место какая-то из других посылок а) тео ремы 2. Но если а^>Ь, то по теореме 2 ас^>Ьс, если же а<^Ь, то асК^Ьс, что невозможно ввиду ас = Ьс, чем исключаются нера венства ас^>Ьс и ас<^Ьс. С л е д с т в и е 1. В расположенном кольце из а) а — Ь^с— следует соответственно и б) a-\-d%^b-\-c, обратно. В самом деле, прибавляя к обеим частям а) сумму b-\-d полу чим б). Обратные теоремы верны, так как в а) и б) исчерпаны все случаи и они исключают друг друга. С л е д с т в и е 2. В расположенном поле при bd^>0 из а)
9
d
а
Ъ ^
с d
следует соответственно
б) ad ^ be,
обратно. Доказательство аналогично предыдущему. Из теоремы 2 вытекают обычные для чисел правила действий с неравенствами. А именно: Т е о р е м а 4. Из а\^>Ь и c ^ > d следует a-{~c^>b-]-d и, если все элементы a, b с, d положительны, то ac^>bd, если же все они отрицательны, то ac<^bd. Верна также теорема, получаю щаяся из данной, если знаки ^> и <^ поменять местами. Д о к а з а т е л ь с т в о . По теореме 2 из а^>Ь следует a 4 ~ с ^ > * + с, из c^>d следует b-\-c^>b-f-d откуда a-\-c^>b-\-d. Точно так же доказывается, что при положительных а, Ъ, с, d будет ac^>bd. Пусть а, Ь, с, d отрицательны. Тогда из а^>Ь сле дует ас<^Ьс и из c^>d следует bc<^bd, откуда ac<^bd. Как следствие из теоремы 3 получаем: Т е о р е м а 5. Расположенное кольцо не имеет делателей нуля (§ 7, определение 2). Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть ab = 0. Тогда ab = a* 0 и по теореме 3 при афО, т. е. а ^ > 0 или а<^0, должно быть Ь = 0.
f f
и
