* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

126 ПОНЯТИЯ МНОЖЕСТВА, ГРУППЫ, КОЛЬЦА и поля Эта теорема показывает, что условия IX и X достаточны для введения порядка в /?, причём X даёт обычную для чисел связь порядка с операциями кольца. Т е о р е м а 2. ( З а к о н ы м о н о т о н н о с т и д л я с л о ж е н и я и у м н о ж е н и я . ) Для любых элементов а, Ь с расположенного кольца R из а) а^>Ь, а = Ь, а<^Ь следует соответственно б) a-{-c^>b-{~c, a -\-c = b-\-c, a - f c<^b-\-c и при с^>0 соот­ ветственно в) ac^>bc ac = bc, аск^Ьс, а при с < ^ 0 — соответ­ ственно: г) ac<^bc, ac = bc, ас^>Ьс. Д о к а з а т е л ь с т в о . Если а^>Ь, то у y ( a - f с) — (Ь-\~ с) = а — 6 > 0 , т. е. а -|— с ^ > ^ — с. Если а = Ь, то ас = Ьс по однозначности сло­ — J жения. Если а<^Ь, то £ ^ > а , и по первому случаю b~\- с^>а-\-с, Случай б) доказан. Если а^>Ь, £ ^ > 0 , то а — b^>0 а-\-с<^Ь-\-с. и по условию X ас^> be. знаков при умножении t (а — b)c = ac — bc^>0, Если с < ^ 0, то — с ^ > 0, [§ 7, формула (3)] имеем: и но правилу bc — ac = (b — a)c = [—(b — a)](—c) be ^> ас, ас <^ be. = (a — b) ( — с ) > 0 , Итак, оба первых случая в) и г) доказаны. Остальные вытекают из первых дословно, как при доказательстве б). Справедливы также обратные теоремы, а именно: Т е о р е м а 3. Из a-^c^b-^-c, следует соответственно a^>b, Из ac^>bc, следует при с ^ > 0 ac = bc, ас<^Ьс соответственно a^>b, а при с < ^ 0 — a=b, а<^Ь 9 случаи a-\-c=b -\-с, а-\-с<^Ь-{-с a = b, а<^Ь. соответственно a<^b 9 a=b, а^>Ь.