* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

МНОЖЕСТВА 85 которого любой элемент х множества X определяет некоторый (соответствующий ему) объект f(x). ' Множество X называется областью определения функции, а множество Y—объектов, соответствующих всем элементам множе­ ства X, — областью значений функции. П р и м е р 1. Пусть у=$1т]Х. За область определения функции можно принять множество действительных чисел. Тогда областью значений функции будет отрезок [ — 1 , 4 - 1 ] . П р и м е р 2. Пусть y = tgx. За область определения функции можно принять множество действительных чисел, отличных от чисел вида тс -\-^, где п пробегает все целые значения (ибо для этих значений х функция не определена). Тогда областью функции будет множество всех действительных чисел. П р и м е р 3. Функция Дирихле: рациональном, » х иррациональном. значений Область определения здесь — множество действительных чисел, область значений — множество {О, 1} из двух элементов. Замечательно, что гениальный русский математик Н. И. Лоба­ чевский более ста лет назад дал определение функции, весьма близкое к приведённому* В противовес господствовавшему тогда взгляду на функцию как на аналитическое выражение (т. е. как на формулу) он подчёркивал значение идеи соответствия в определе­ нии понятия функции. «Это общее понятие, — писал Лобачевский о понятии функции,— требует, чтобы функцией от х называть число, которое даётся для каждого х и вместе с х постепенно изменяется. Значение функции может быть дано или аналитическим выражением или условием, кото­ рое подаёт средство испытать все числа и выбирать одно из них, или, наконец, зависимость может существовать и оставаться неиз­ вестной» *). Весьма близким к понятию функции является понятие отобра­ жения. О п р е д е л е н и е 2. Пусть даны два множества X и Y. Такое соответствие, при котором каждому элементу х£Х соответ­ ствует (единственный) элемент y£Y, называется отображением множества X в множество Y; в частности, если каждый элемент y£Y соответствует по крайней мере одному элементу х£Х, то такое соответствие называется отображением X на Y. ) Н. И. Л и б а ч с в с к и Й, Об исчезапии тригонометрических Учёные записки Казанского университета, кн. И, 1834. 1 строк,