* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

84 ПОНЯТИЯ МНОЖЕСТВА, ГРУППЫ, КОЛЬЦА И ПОЛЯ П р и м е р 4 . Пусть X — множество всех положительных чисел х и А —множество точек круга радиуса х с центром в точке О. х Тогда снова объединение скости, а пересечение А х А будет множеством всех точек пло¬ х содержит лишь одну точку О. § 3. Функция, отображение, мощность Понятие функции играет в математике такую же существенную роль, как понятие множества. Что же такое функция? Часто гово­ рят, что функция есть переменная величина, зависящая от другой переменной величины (аргумента). В применении к обычным функ­ циям, изучаемым в школе, как y=sinx, это определение вполне подходит и может применяться в преподавании. Наша задача,' одна­ ко, состоит в более точном уяснении сущности этого понятия и получении современного его определения. Прежде всего, если взять функцию у=sin Jc-(cos х, a 2 то ее значение уже не зависит от значения х. Далее, под величи­ нами принято понимать такие объекты, которые можно сравнивать между собой, т. е. такие, между которыми существуют отношения б о л ь ш е и м е н ь ш е . Между тем в математике рассматриваются также и функции, для которых эти отношения не установлены, как, например, в случае комплексных чисел или вообще элементов не­ которого множества. Внимательное рассмотрение показывает, что в понятии функции существенно не столько её изменение с измене­ нием аргумента, сколько сам закон соответствия, в силу которого по каждому значению аргумента однозначно определяется соответ­ ствующее ему значение функции. Так функцию у=sin 2 х -f- cos х 2 можно определить, просто сказав, что каждому действительному числу х она ставит в соответствие число 1. Соответствие есть закон, позволяющий для каждого элемента х некоторого множе­ ства X однозначно указать некоторый объект (соответствующий данному элементу). Эти слова лишь поясняют понятие соответствия, но не должны пониматься как его определение. Понятие соответ­ ствия, как и понятие множества, принимается за основное, не под­ лежащее определению. Тогда наиболее общее определение функции будет такое: О п р е д е л е н и е 1 . Функцией, заданной (или определённой) на некотором множестве X, называется соответствие, в силу