* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

86 ПОНЯТИЯ МНОЖЕСТВА, ГРУППЫ, КОЛЬЦА И ПОЛЯ % Если элементу х соответствует у то у называется образом элементах, а х—прообразом элемента у. Пишут: х^у или у— =f(x). Множество А всех элементов х£Х, имеющих один и тот же образ y£Y называется полным прообразом элемента у. П р и м е р 4. Пусть D — множество действительных чисел. Со­ ответствие JC-^|JC| будет отображением множества D в себя же и отображением D на множество неотрицательных чисел. Прообразом числа 0 будет один 0, ч и с л о ^ у ^ О имеет два прообраза: -\-у и — у . П р и м е р 5. Поставим в соответствие каждой точке квадрата её проекцию на основание. Получим отображение квадрата на отрезок. Полным прообразом каждой точки основания будет мно­ жество всех точек квадрата, лежащих на перпендикуляре к осно­ ванию, восставленном в данной его точке. Примеры 4 и 5 показывают, что при отображении множества X в К, с одной стороны, некоторые элементы из Y могут вовсе не иметь прообразов, а, с другой стороны, могут быть элементы, име­ ющие несколько (даже бесконечно много) прообразов. Если нет ни того, ни другого, то отображение называется взаимно однозначным. Таким образом, мы приходим к следующему определению: Определение 3. Взаимно однозначным соответствием между множествами X и Y (или отображением X на 10 назы­ вается соответствие (соответственно, отображение), обладающее следующими тремя свойствами: 1) каждому элементу множества X соответствует один и только один элемент множества Y; 2) двум различным элементам множества X всегда соответ­ ствуют два различных элемента множества Y; 3) всякий элемент множества Y соответствует хотя бы одному элементу множе­ ства X» Заметим, что первые два свойства дают взаимно однозначные отображения X на некоторое подмножество Y. В этом случае го­ ворят о взаимно однозначном отображении X в К. Если y=f(x) есть взаимно однозначное отображение X на F, то каждому yd Y можно поставить в соответствие тот единственный элемент x{X образом которого при отображении / является .у. Это соответствие называется обратным отображением для отображе­ ния / и обозначается через f~ * В качестве упражнение предлагается доказать, что f~ есть также взаимно однозначное отображение Y на X и что обратным для отображения f~ будет исходное ото­ бражение / • О п р е д е л е н и е 4. Два множества X и Y, между которыми можно установить взаимно однозначное соответствие, называются равномощными (или эквивалентными), что обозначается сим­ волом X~Y. О равномощных множествах говорят также, что они имеют оди­ наковую мощность. Условимся считать, что пустое множество равномощно только самому себе. 9 f l x l