* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

462' ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВАНИЯ МАТЕМАТИКИ. 463' элементы которых могут быть приведены Вслед за этим мы введем в состав нашего в строго расположенные последователь­ множества функции, которые получаются ности, одно всегда имеет либо ту же мощ­ путем производства над любым конечным ность, что и другое, либо большую, либо числом ранее введенных функций ^(г), меньшую; здесь имеет место полная дизъ­ VifA tfnit) операции юнкция. Чтобы поэтому установить, имеет ли также место такая дизъюнкция относи­ тельно двух любых множеств, нужно ре­ шить, можно ли элементы любого множества Получив, таким образом, функции, содержа­ привести в строго расположенную последо­ щие один квадратный радикал, мы соста­ вательность. Это и был коренной вопрос во вим новые функции, которые получаются всей канторовой арифметике. Вопрос этот путем производства над всеми введенными представлял весьма большие трудности, так уже функциями рациональных операций и что Гильберт в своей речи на Париж­ извлечения корня квадратного из суммы ском всемирном конгрессе математиков квадратов. Далее, мы приобщим все воз­ отнес его к числу труднейших задач,. можные функции, которые тем же путем стоящих перед математическим миром. получаются из предыдущих функций, и т. д. Цермелло дал его решение: рядом весьма Мы можем, таким образом, сказать, что тонких рассуждений он показал, что стро­ в состав нашего множества войдут все гое расположение элементов любого мно­ функции, которые получаются из целых жества всегда может быть достигнуто. алгебраических функций с действительными С тех пор учение о множествах получило коэффициентами путем последовательного чрезвычайно широкое развитие, и идеи производства четырех рациональных опера­ Кантора стали краеугольным камнем совре­ ций и извлечения корня квадратного из менной теории функций действительного суммы квадратов. переменного (см. функция). Нужно, однако, Теперь, прежде всего, ясно, что, если наше сказать, что доказательство Цермелло нель­ множество содержит функции 6> (t) и w^f), зя считать общепризнанным. то оно будет содержать также функции L 30. Корпус трансфинитных чисел и последнюю в том предположении, что ^(г) не сводится тождественно к нулю. Это мно­ жество функций образует, таким образом, числовой корпус. Построенное этим путем множество Гильберт претворяет в величину Для этого ему нужно установить соглаше­ ния, при которых он будет считать один из элементов этого множества равным дру­ гому, ббльшим или меньшим его. Он поль­ зуется для этого тем обстоятельством, что его функции алгебраические—рациональные или иррациональные, а потому каждая из них может обратиться в нуль лишь конеч­ ное число раз. Следовательно, при доста­ точно бльших значениях независимого пе­ ременного t функция сохраняет уже опре­ деленный знак; точнее, для каждой функ­ ции нашего множества Т функ­ ция всегда имеет один и тот же знак. Если этот знак есть-К то мы будем говорить, что (o{t) становится на бесконечности по­ Ф(£\ = o - ^ i * + 2 Р+ ... -j-ajt ложительной; если этот знак есть—, то мы будем говорить, что функция стано­ вится на бесконечности отрицательной. Сюда же войдут, в частности, функции, Пусть теперь i(t) и а> (г) будут два сводящиеся к постоянным, вида элемента нашего множества. Будем гово­ рить, что ajff) = а>2(г), если разность a>i(f) — са (г) тождественно равна нулю; а (0> если разg Q неархимедова геометрия. Арифметика Кантора, как мы видели выше, не дает места обратным операциям — вычитанию и делению. Вследствие этого построенная Кантором система трансфинитных чисел не представляет собою числового корпуса. Кантор только продолжил натуральный ряд, и все его дальнейшие числа тоже но­ сят характер целых чисел. Гильберт по­ дошел к идее трансфинитных чисел с дру­ гой стороны и создал настоящий корпус трансфинитных чисел. Если Кантор продол­ жил ряд натуральных чисел, то Гильберт продолжил в обе стороны за бесконечность весь комплекс действительных чисел. Ком­ плекс не сохранил при этом непрерыв­ ности, но зато стал числовым корпусом. Составим множество следующим образом. Введем в его состав прежде всего все це­ лые и дробные алгебраические функции одного действительного переменного с дей­ ствительными коэффициентами. Каждая та­ кая функция будет, следовательно, иметь вид 1 2 2 2