* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки
460 ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВАНИЯ МАТЕМАТИКИ. 461' Из того обстоятельства, что ян = т к , если тип суть натуральные числа, сле дует, что установить понятие о делении, как об однозначном обращении умножения, здесь невозможно. Совокупность канторовых чисел не образует числового корпуса. Изложенные выше основания канторовой арифметики количественных чисел могут произвести впечатление, что порядковое расположение их в этой теории роли н е играет. Это, однако, н е так. Для полной разработки этой теории Кантор не только был вынужден возвратиться к идее о иорядкозом характере всего числового ряда, но даже построить учение о так называе мых „порядковых числах". Войти в подроб ности этого весьма важного учения здесь невозможно; ограничимся лишь указанием того, что приводит к этому учению и ка ков его важнейший результат Установив в предыдущей главе, при каких условиях мы считаем мощность од ного множества большей, равной или мень шей, нежели мощность другого множества, мы не остановились на вопросе о том, можно, ли всегда утверждать, что из двух заданных множеств одно всегда имеет мощ ность, равную мощности другого, большую или меньшую ее. Иначе говоря, если даны два множества, которые не имеют одинако вой мощности, т.-е. не могут быть приведе ны в однооднозначное соответствие, то все гда ли можно одно и только одно из этих двух множеств привести в однооднозначное соответствие с некоторой частью другого? Решение этого основного вопроса оказалось чрезвычайно трудным, и путь к нему ле жит через учение о порядковых числах. Точкой отправления в этом учении служит расположение элементов множества, т.-е. распределение их в такой порядок, при ко тором и з любых двух его элементов один всегда бы предшествовал другому (а этот последний следовал бы з а первым). Грассманова арифметика, как мы видели, имеет точкой отправления расположенный ряд — натуральный ряд; на этом всецело основан индуктивный метод построения арифме тики. У Кантора такого ряда нет, ему необходимо создать более сложный ряд, который соответствовал бы более слож ной структуре его количественных чисел. Кантор замечает прежде всего, что самые элементы натурального ряда можно распо ложить чрезвычайно различно. Так, мы мо жем заменить натуральное расположение в котором каждое четное число предше ствует меньшему нечетному. В таком же роде возможно еще многообразно изме нять последовательность членов натураль ного ряда. Но такого рода перераспреде ление, пример которого мы привели, Кан тор не считает существенным. Гораздо бо лее глубокое отличие от натурального ряда представляют собой расположения: или 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,.. Л 3. 4, 5. 6. 7. 8 , . . Л . 2. в которых один или два первых элемента перенесены в конец ряда. Еще большее отличие представляет расположение 1,3,5,7,9,. 2,4,6,8,10,..., при котором каждое четное число следует за всеми нечетными. При всем различии приведенных выше расположений членов натурального ряда, они все имеют одну существенную осо бенность, которая заключается в следую щем: как бы мы. в этих расположениях ни произвели сечение, каждая из двух частей имеет начальный элемент. Если, например, произвести в последнем распо ложении сечение, относя к первой группе все нечетные, а ко второй группе все чет ные числа, то первая группа будет иметь начальным элементом 1, а вторая — 2; если сечение произвести после 8, то вторая группа будет иметь первым элементом 10, и т. д. Такого рода последовательности Кантор называет строго расположенными, или вполне расположенными (wohlgeordnete Menge). Но если мы дадим членам натурального ряда расположение: 1. 3. 5. 7, 9, 11, 12, 10, 8, 6, 4, 2, в котором за всеми нечетными числами следуют все четные в обратном порядке, то это расположение не будет строгим; в самом деле, если мы здесь произведем сечение, отнеся к первой категории все нечетные, а ко второй — все четные числа, то вторая группа первого элемента не имеет: эго нестрогое расположение чисел натурального ряда. Наиболее существенная особенность строго расположенных мно жеств заключается в следующем. Если два строго расположенных множества не имеют одинаковой мощности, то одно из них не пременно имеет мощность некоторой на 1, 2, 3, 4, 5, б, 7, 8,..., чальной части другого. Таким образом, отно в котором каждое нечетное число предше сительно строго расположенных множеств поставленный выше вопрос о сравнимости ствует четному, расположением мощностей всегда решается в утвердитель ном смысле Точнее: из двух множеств, 2, 1, 4, 3, 6, 5. 8. ?..