* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

464' ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВАНИЯ МАТЕМАТИКИ. 465' ность coiCO — ^CO становится на беско­ не имеет места. Гильберт и построил эту нечности положительной, и будем говорить, геометрию, чтобы обнаружить возможность что (r), если та же разность неархимедовой геометрии и, следовательно становится яа бесконечности отрицательной. независимость постулата Архимеда. Вели­ Что все постулаты сравнения при этих кри­ кий эллинский геометр был прав, когда териях соблюдены, это никто не затруд­ внес это положение в число недоказываенится обнаружить. мых принципов геометрии. Так арифметика Множество претворено, таким образом, и геометрия помогают друг другу в разре­ в величину. Элементы этого множества шении этих трудных вопросов. Гильберт рассматривает как своеобразные 31. Математика и логика. В предыду. числа; мы будем их называть гильберто­ щих главах изложен ход эволюции учения выми числами. В состав их входят и все о Т. о. м. В своем современном виде учение обыкновенные действительные числа, так это, как мы старались его осветить, осно­ как они были введены в этот комплекс. вано на следующих принципах. Но, если мы возьмем, например, число, вы­ Математика, как научная система, в ко­ ражаемое функцией т, и число с, выражае­ нечном своем построении, во всех своих мое обыкновенным действительным числом, разветвлениях представляет собою формаль­ то разность т — с становится на бесконеч­ ную науку, строго логически развиваю­ ности положительной, каково бы ни было щуюся из основных положений — опре­ число с. Поэтому гильбертово число г боль­ делений и постулатов. Эти определения ше всякого обыкновенного числа с; это представляют собой чистые соглашения, есть число трансфинитное. Совокупность присваивающие определенным символам гильбертовых чисел представляет собою (терминам, понятиям) те или иные, нами числовой трансфияигный корпус. Причина устанавливаемые, значения. К определениям парадоксального, на первый взгляд, обстоя­ присоединяются постулаты, отличающие тельства, что мы оперируем над бесконеч­ категории объектов, которые мы желаем ными числами, здесь коренится в том опре­ изучать, от других категорий, также удовлет­ делении, которое мы приняли в качестве кри­ воряющих определениям, но оставляемых терия сравнения чисел; при этой конвен­ нами в стороне. ции здесь нет ничего трансцендентального. В выборе наиболее целесообразных опре­ Располагая корпусом трансфинитных чи­ делений и постулатов, т.-е. таких, которые сел, мы можем построить и трансфинитную приведут к формальной системе, способной геометрию. С этой целью построим аналити­ целесообразно выражать соотношения ме­ ческое пространство (см. гл. 18, ст. 408710')» жду объектами внешнего мира, нами руко­ в котором точкой будут служить значения водит опыт; в этом—эмпирический источник трех независимых переменных (x,y,z), про­ математического познания. Но соглашения извольно выбранные из всей совокупности все же остаются конвенциями; поэтому ха­ гильбертовых чисел. В остальном геометрия рактер математического познания конвен­ строится, как аналитическая геометрия циональный. Евклида. За расстояние между двумя точ­ Все исходные положения каждой мате­ ками (х , y z ) и (#2, У2, z ) принимается матической дисциплины должны быть сов­ число (вообще говоря, трансфинитное) местны, т.-е. не должны заключать внутрен­ него противоречия. Они должны быть не­ зависимы, т.-е. ни одно из них не должно - *2) +• (Л - Л ) + (Ч-г&быть следствием остальных. Из этих по­ за прямую принимается совокупность то­ ложений путем строгой логической дедук­ чек, координаты которых удовлетворяют ции разматывается весь математический двум независимым линейным уравнениям, материал. Определения, как мы указывали и т. д. Если мы на оси абсцисс возьмем в своем месте, должны сводить математи­ точки (0,0,0), (1,0,0), (2,0,0), (3,0,0),..., ческие понятия к другим основным поня­ (п, 0,0), то расстояния между двумя после­ тиям, лежащим за пределами математики. довательными точками равны 1. Расстояние Из всего этого видно, какая сложная точки (п, 0, 0) от начала координат равно п. задача возлагается на логику. Она должна Между тем расстояние точки (т,0,0), также установить отсутствие противоречий в при­ лежащей на оси абсцисс, от начала коорди­ нятой системе основных положений; она нат равно г и, следовательно, больше любого должка руководить каждым шагом в про­ расстояния л, выражающегося обыкновен­ цессе умозаключения; она должва снабдить ным положительным числом. Откладывая по математику теми общими понятиями, к ко­ оси абсцисс от начала координат последо­ торым основные определения сводят мате­ вательно равные отрезки, имеющие едини­ матические понятия (см. математика). цу длины, мы никогда не достигнем точки К этому присоединяется еще один, и при­ (г, 0,0), лежащей на той же оси. Принцип том основной, вопрос. При доказательстве Архимеда, таким образом, в этой геометрии совместности и независимости исходных поx 3 х it t 2 2 2