* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки
444' ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВАНИЯ МАТЕМАТИКИ. ни были его коэффициенты, имеет я кор ней. Только благодаря этому свойству алге бра комплексной области отличается такой цельностью и стройностью. Теперь нетрудно, пользуясь основными определениями (1), (2) и (4), установить следующее тождество: (а, &) = (*, 0)4-(ft, 0).(0, 1) Вследствие принятых выше соглашений и обозначений, это тождество можно на писать в виде Все изучение функций, теория функций как мы теперь говорим, оказалось неизме римо плодотворнее, когда областью зада ния функции явился корпус комплексных чисел. Введение комплексных чисел—это не этап в ходе эволюции учения о числе, это целая эпоха, и из этой эпохи математика еще не вышла. 25. Векторы и высшие Комплексные числа. При всем своем значении комплекс ные числа оставались только (рормальным средством алгебраического вычисления. Не было конкретного субстрата, к которому они получили бы применение, а потому они все же занимали в арифметике исклю чительное место. С возникновением учения о векторах это положение изменилось (см. векториальный анализ). Вектор на плос кости определяется двумя проекциями на оси ортогональных координат; эти проекции называются компонентами, или слагающи ми вектора. Два вектора (X, Y) и (X, У)„ заданные своими компонентами, равны, если Х — Х' и К — У . Сумма векторов имеет своими компонентами X + X' и К 4 У. Условимся теперь выражать комплексным числом X-j-Yi вектор, имеющий компо нентами X и Y. В таком случае равные комплексные числа выражают равные век торы, сумма (разность) двух комплексных чисел выражает вектор, представляющий собой сумму (разность) двух векторов, ко торые выражаются данными двумя ком плексными числами. Таким образом, между комплексными числами и векторами на плоскости устанавливается соответствие, дающее возможность соотношения между векторами выражать соотношениями между комплексными числами. Эта идея, прове денная, вернее, — намеченная Коши, по служила импульсом к всеобщему призна нию комплексных чисел. При всем том область применения комплексных чисел к векторам на плоскости остается очень ограниченной: только сумма и разность комплексных чисел действительно выражает сумму и разность векторов. Произведение комплексных чисел не может выразить геометрического произведения двух векто ров, потому что это последнее произведе ние выражается вектором, не лежащим в той же плоскости, а перпендикулярным к ней. Арифметический аппарат, в полной мере воспроизводящий операции над векто рами, был создан в другом порядке идей» в ходе дальнейшего развития идеи о ком плексном числе. Если обыкновенное ком плексное число составлено из двух неза висимых единиц, то естественно было идти в этом направлении дальше, построить алгебру высших комплексных чисел, со ставленных из большего числа независи мых единиц. Это почти одновременно бы- (а. Ь) — а-\- Ы или (а. Ъ) = а . 14- Ъи Каждое комплексное число может быть представлено в виде аЛ-\-Ы. Это интер претируют так, что каждое комплексное число составлено из действительной еди ницы, взятой с коэффициентом я, и из мни мой единицы, взятой с коэффициентом Ь. Отсюда и наименование „комплексное чис ло". Самое обозначение (а, Ь) можно оста вить, заменив его через а 4 Ы Этот сим вол можно рассматривать как сумму ком плексных чисел и соответственно этому оперировать с комплексными числами по правилам формальной алгебры, заменяя множитель г* везде, где мы к нему придем, через — 1. Это, конечно, и служило наве дением при определении произведения двух комплексных чисел, выражаемого равен ством (4): в самом деле, перемножая числа a-\-bt и of -f- Vi по этому правилу, мы получим число (аа' — bb') 4 W + ba') I = = {аа' — bb'y ab' -f« того требует определение (4). В области комплексных чисел, как мы уже указали выше, выполняются все опе рации классической алгебры. Такая сово купность чисел, в которой все рациональ ные операции выполняются и приводят в результате к числу той же совокупности, называется числовым корпусом. Совокуп ность всех арифметических чисел не пред ставляет собою числового корпуса, хотя в ней осуществляются даже иррациональ ные операции. Совокупность всех рацио нальных относительных чисел уже образует числовой корпус, но в нем неосуществимы иррациональные операции. Совокупность всех относительных чисел образует число вой корпус, в пределах которого осуще ствляются многие иррациональные опера ции,—-но не вес. Совокупность всех ком плексных чисел есть числовой корпус, в котором получают осуществление все алге браические операции. Современная алгебра а к есть алгебра корпуса всех комплексных чисел. Но эволюция, приведшая к корпусу ком плексных чисел, оказалась необычайно пло дотворной не только в области алгебры. I