
* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки
442' ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВАНИЯ МАТЕМАТИКИ. 443' нить некоторые весьма несложные вы числения. Наконец, деление комплексных чисел определяется однозначно в тех случаях, когда делитель отличен от нуля. Мы получаем, таким образом, вновь рас ширенную область чисел, в состав которой (а, Ъ) + {с/, V) = (а + a', b + V) (2). действительные числа входят как частный Из этого явно вытекает, что основные случай; именно, к действительным числам, свойства суммы действительных чисел как мы установили выше особым соглаше остаются в силе и для суммы комплексных нием, принадлежат те, и только те, комплекс ные числа, вторые компоненты которых чисел Так, например: равны нулю. Если два комплексных числа сводятся к действительным числам, то их [(a. Ь)+ (<*', У ) ] + (*",*») = сумма, разность, произведение и частное = ([а + а\ + а\1ь + ь'] + ь"), совпадают с суммой, разностью, произве дением и частным тех же чисел, как они ia,b) + \ia\ b')-h(a",b")} = = {а+[а' :-а'%Ь + [Ъ'+ !/')). установлены арифметикой действительных чисел. Так, равенства (2) — (4) в этом слу .'.И так как чае дают: мы разумеем комплексное число, первая компонента которого равна сумме первых .компонент слагаемых, а вторая компонента равна сумме вторых компонент слагаемых. Шными словами, сумма двух комплексных чисел опред ляется равенством: [a - j - a'] - j - а" = а - j - [a' -j- а"], {д J- У] + 6" = Ъ + [У + * " ] , го а + й' = (а, 0) + (а', 0) = (а 4-я', 0) = s=a-fa' -г {(а'. 1/) + (а". Й]. ..Закон сочетательности остается, следова тельно, в силе. Разность двух комплексных чисел, в ее обычном определении, всегда существует и однозначно ^определяется соотношением: а — а' —(а, 0) — {а% 0) = (я — а\ 0) = '=а — а' а . а' — {а, 0) . (а , 0) = (аа', 0) = аа'. 1 Новые определения строго следуют за кону перманентности. Но в этой расширен ной числовой области получают осуще ствление операции, которые в области ве щественных чисел невыполнимы. Это легко обнаружить. 0), со [а, Ь) — (a*. b'\ = (а — a', b — b') (3), Число (1,естьПо установленному выше(1). глашению, действительная единица ибо, согласно определению суммы двух Комплексное число (0,1) обозначим через /: •комплексных чисел: (0, 1) = / (5), {а — я', b — Ь') + (а', Ь') — (л, Ъ) его часто называют мнимой единицей. Если В определении умножения двух комплекс числим теперь, следуя /определению (4), вы произведение . i, то получим: ных чисел лежит центр тяжести их значения. Произведение двух комплексных чисел г . / = С- = (0,1) . (0, ! ) = ( - 1,0)= - 1 (6). •определяется равенством: (я, Ъ).{сГ V) — (aa --bb'. aV + a'b) (4); Итак, комплексное число (0, 1), обозначен ное нами через /, в силу установленного вы f ше определения произведения, обладает тем иными словами, под произведением двух свойством, что /2 = — 1. Извлечение ква •комплексных чисел (а, а!) и (b, Ь') мы ра дратного корня из отрицательной 1 становит зумеем комплексное число, первой компо нентой которого служит число аа! — ЬЫ, ся возможным: именно, числа г и — г т.-е. а второй—число ab' -^а'Ь. При всей свое (0, 1) и (0,-1) являются двумя корнями образности этого определения, оно все же квадратными из — 1 . Вместе с тем квадрат приводит к тому, что все формальные пре ные корни из любого действительного от образования произведения сохраняют свою рицательного числа —а выражаются ком салу. Так, например, достаточно посмотреть плексными числами iVa и — iVa, т.-е. чис на правую часть последнего равенства, лами ф,Уа), (0, — Va). Мало того, в области комплексных чисел •чтобы убедиться, что она не меняется, когда мы переставим сомножители левой оказывается выполнимым извлечение кор части равенства. Чтобы обнаружить, что ня любой степени из любого числа. Еще законы сочетательности и переместитель более: в этой области всякое алгебраиче ности остаются в силе, необходимо выпол-i ское уравнение л-ой степени, каковы бы