* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

442' ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВАНИЯ МАТЕМАТИКИ. 443' нить некоторые весьма несложные вы­ числения. Наконец, деление комплексных чисел определяется однозначно в тех случаях, когда делитель отличен от нуля. Мы получаем, таким образом, вновь рас­ ширенную область чисел, в состав которой (а, Ъ) + {с/, V) = (а + a', b + V) (2). действительные числа входят как частный Из этого явно вытекает, что основные случай; именно, к действительным числам, свойства суммы действительных чисел как мы установили выше особым соглаше­ остаются в силе и для суммы комплексных нием, принадлежат те, и только те, комплекс­ ные числа, вторые компоненты которых чисел Так, например: равны нулю. Если два комплексных числа сводятся к действительным числам, то их [(a. Ь)+ (<*', У ) ] + (*",*») = сумма, разность, произведение и частное = ([а + а\ + а\1ь + ь'] + ь"), совпадают с суммой, разностью, произве­ дением и частным тех же чисел, как они ia,b) + \ia\ b')-h(a",b")} = = {а+[а' :-а'%Ь + [Ъ'+ !/')). установлены арифметикой действительных чисел. Так, равенства (2) — (4) в этом слу­ .'.И так как чае дают: мы разумеем комплексное число, первая компонента которого равна сумме первых .компонент слагаемых, а вторая компонента равна сумме вторых компонент слагаемых. Шными словами, сумма двух комплексных чисел опред ляется равенством: [a - j - a'] - j - а" = а - j - [a' -j- а"], {д J- У] + 6" = Ъ + [У + * " ] , го а + й' = (а, 0) + (а', 0) = (а 4-я', 0) = s=a-fa' -г {(а'. 1/) + (а". Й]. ..Закон сочетательности остается, следова­ тельно, в силе. Разность двух комплексных чисел, в ее обычном определении, всегда существует и однозначно ^определяется соотношением: а — а' —(а, 0) — {а% 0) = (я — а\ 0) = '=а — а' а . а' — {а, 0) . (а , 0) = (аа', 0) = аа'. 1 Новые определения строго следуют за­ кону перманентности. Но в этой расширен­ ной числовой области получают осуще­ ствление операции, которые в области ве­ щественных чисел невыполнимы. Это легко обнаружить. 0), со­ [а, Ь) — (a*. b'\ = (а — a', b — b') (3), Число (1,естьПо установленному выше(1). глашению, действительная единица ибо, согласно определению суммы двух Комплексное число (0,1) обозначим через /: •комплексных чисел: (0, 1) = / (5), {а — я', b — Ь') + (а', Ь') — (л, Ъ) его часто называют мнимой единицей. Если В определении умножения двух комплекс­ числим теперь, следуя /определению (4), вы­ произведение . i, то получим: ных чисел лежит центр тяжести их значения. Произведение двух комплексных чисел г . / = С- = (0,1) . (0, ! ) = ( - 1,0)= - 1 (6). •определяется равенством: (я, Ъ).{сГ V) — (aa --bb'. aV + a'b) (4); Итак, комплексное число (0, 1), обозначен­ ное нами через /, в силу установленного вы­ f ше определения произведения, обладает тем иными словами, под произведением двух свойством, что /2 = — 1. Извлечение ква­ •комплексных чисел (а, а!) и (b, Ь') мы ра­ дратного корня из отрицательной 1 становит­ зумеем комплексное число, первой компо­ нентой которого служит число аа! — ЬЫ, ся возможным: именно, числа г и — г т.-е. а второй—число ab' -^а'Ь. При всей свое­ (0, 1) и (0,-1) являются двумя корнями образности этого определения, оно все же квадратными из — 1 . Вместе с тем квадрат­ приводит к тому, что все формальные пре­ ные корни из любого действительного от­ образования произведения сохраняют свою рицательного числа —а выражаются ком­ салу. Так, например, достаточно посмотреть плексными числами iVa и — iVa, т.-е. чис­ на правую часть последнего равенства, лами ф,Уа), (0, — Va). Мало того, в области комплексных чисел •чтобы убедиться, что она не меняется, когда мы переставим сомножители левой оказывается выполнимым извлечение кор­ части равенства. Чтобы обнаружить, что ня любой степени из любого числа. Еще законы сочетательности и переместитель­ более: в этой области всякое алгебраиче­ ности остаются в силе, необходимо выпол-i ское уравнение л-ой степени, каковы бы