* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки
446' ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВАНИЯ МАТЕМАТИКИ. 447' ло выполнено Грассманом в Германии и перемножении векторов), затруднение же Гамильтоном в Англии. составляют, главным образом, два пункта: Комплексное число Грассмана имеет вид закон переместительности и, как теперь часто говорят, закон аннулирования. Отступления от закона переместитель a ei 4- «г Ч 4 % з 4 * * * + п *> ности в различных системах линейной ал где e , е * • г е У независимые единицы, гебры обыкновенно заключаются в том, что г коэффициенты при них а а • • • а (ком произведение двух сомножителей меняет поненты комплексного числа) суть действи свой знак с перестановкой этих двух со тельные числа. Сумма и разность двух выс множителей. Закон аннулирования в ариф ших комплексных чисел определяется так метике обыкновенных комплексных чисел же, как сумма и разность обыкновенных заключается в том, что произведения обра комплексных чисел, т.-е. путем сложения и щаются в нуль в том и только в том слу вычитания соответствующих компонент. чае, когда в нуль обращается один из со Вместе с тем сумма и разность высших множителей. В более сложных системах про комплексных чисел следует тем же фор изведение может обращаться в нуль, когда мальный законам, что и сумма и разность ни один из сомножителей не равен нулю. действительных чисел. Но дать такое опре Из линейных систем высших комплекс деление произведению высших комплекс ных чисел наиболее замечательной является ных чисел, при котором и оно следовало алгебра кватернионов, построенная Гамиль бы формальным законам арифметики дей тоном (см. кватернионы). При помощи ствительных чисел, не удавалось. В разре кватернионов могут быть выражены векто шении этой задачи Грассман и Гамильтон ры трехмерного пространства, но общая шли совершенно различными путями: Грасс область кватернионов шире, нежели об ман шел в порядке экстенсивной алгебры, ласть векторов: общее выражение кватер в которой произведение двух комплексных нионов содержит, кроме векторной, так чисел является комплексным числом более называемую скалярную часть; но операции высокого порядка; Гамильтон шел в на над теми кватернионами, которые служат правлении интенсивной алгебры, в кото для выражения векторов, вполне следуют рой произведение двух комплексных чисел законам векторной алгебры. есть комплексное число, составленное из 27. Закон совершенной индукции. Пре тех же независимых единиц, что и сомно дыдущий очерк дает сжатую, но достаточно жители. Осуществление интенсивной алгеб полную картину эволюции понятия о числе. ры ), сохраняющей все основные законы Как мы видим, в основе изложенной си арифметики действительных чисел, не уда стемы арифметики лежит натуральный валось. Вейерштрасс показал, что это ко ряд. Комбинируя натуральные (целые) ренится в существе задачи: построить числа попарно, мы составляем дроби, т.-е. более мощную интенсивную алгебру, т.-е.строим систему всех рациональных чисел. алгебру высших комплексных чисел, со Заполняя пробелы между рациональными храняющую все формальные законы арифчислами, т.-е. вводя числа, замыкающие метики действительных чисел, невоз всякое сечение в области рациональных можно. Вот почему с введением обыкно чисел, мы создаем систему всех арифмети венных комплексных чисел эволюция учения ческих чисел. Из арифметических чисел мы о числе получила завершение. Образования образуем относительные (положительные и 'более поздние и более сложные следуют отрицательные) числа и таким образом при уже иным законам: закон перманентности ходим к корпусу всех действительных чи падает. сел. Наконец, комбинируя попарно дей Как мы видели, сумма высших комплекс ствительные числа, мы составляем комплекс ных чисел определяется таким образом, что ные числа, образованием которых, как уже компоненты суммы являются суммами со было сказано, эволюция в известном смыс ответствующих компонент слагающих. Ин ле заканчивается. Операция над дробными тенсивная алгебра, построенная на этих числами всегда сводится к тем или иным началах, называется линейной алгеброй. операциям над членами дроби, т.-е. над Трудность эволюции линейной алгебры, как целыми числами; операции над иррацио мы видели, заключается в определении про- нальными числами выполняются путем дей •изведений. Во всех системах линейной ал ствий над рациональными числами, кото гебры закон распределительности все же рые образуют соответствующее сечение; -остается в силе (как это имеет место и при наконец, операции над относительными числами всегда сводятся к действиям над арифметическими числами, операции над О Было бы правильнее говорить не обэкстеисив- комплексными числами — к действиям над •иой и интенсивной алгебре, а об экстенсивной и действительными числами. Таким образом, интенсивной арифметике. Мы отдаем дань уста в конечном счете, операции над любыми новившейся, хотя в неправильной терминологии. а е а е t С Т Ь t 2 п ь 2 п 1