* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВАНИЯ МАТЕМАТИКИ. 377' 12. Движения в интерпретации евкли было изъятий. Так как „прямыми" в этой довой геометрии, данной Пуанкаре. Те геометрии служат прямые и окружности перь мы имеем возможность ответить на вопрос, поставленный в конце главы 9-й. Мы привели там интерпретацию евклидо вой геометрии, указанную Пуанкаре, и оста лось только выяснить, что представляют собою движения в этой системе. Мёбиус (см.) еще в средине прошлого сто летия установил группу замечательных пре образований на плоскости, которые обла дают той особенностью, что они преобра зуют все окружности в окружности же. Вообще говоря, геометрическое преобразо вание изменяет форму кривой; но суще ствуют особенные преобразования, которые не меняют формы тех или иных линий; к числу последних принадлежат и круговые преобразования Мёбиуса. К числу этих преобразований принадлежат, в первую очередь, все движения, не меняющие ни величины, ни формы окружностей; сюда же относятся все подобные преобразования, не меняющие формы окружностей, но изменяющие их размеры; сюда относятся также так называемые преобразования посредством обращения, или посредством •обратных радиусов-векторов. Эти послед ние преобразования, теорию которых мож но найти во многих элементарных руко водствах *), иногда преобразовывают окруж ности в окружности же, а иногда преобра зовывают их в прямые. Но мы уже упоми нали при изложении интерпретации Пуан каре, что на прямые можно смотреть как на окружности бесконечно большого ра диуса; и именно при этой точке зрения, т.-е. при таком условном приобщении пря мых к окружностям, можно утверждать, что круговые преобразования преобразуют все окружности в окружности же. Если взять любую точку О на плоско сти, то всегда существует группа круговых преобразований, которые эту точку О оста вляют без изменения (т.-е. относят эту точку, как соответствующую, самой себе). Если мы эти соображения применим к ин терпретации Пуанкаре и под точкой О бу дем разуметь ту точку, которую мы исклю чали из плоскости при построении этой интерпретации евклидовой геометрии, то группа круговых преобразований, не ме няющих точки О, и представляет собой дви жения в этой геометрии. Мы не станем входить здесь в большие подробности, за метим только, что это приводит к чрез вычайно своеобразной интерпретации ев клидовой геометрии, осуществляющей по следнюю полностью, без каких бы то ни *) Очень обстоятельное изложение учения о пре образовании обратными радиусами-векторами можно •найти в книге Адлера .Геометрические построения". проходящие через точку О, то „движения"' очевидно, замещают „прямые" линии „пря мыми" же, как это обычно имеет место в геометрии. Мы видим, таким образом, что интерпре тация евклидовой геометрии, данная Пуан каре, имеет в основе своей ту точку зре ния на геометрию, которая была установлена Софусом Ли. Развитие этих идей, вернее, удачное их применение, привело герман ского математика Ф. Клейна (1849 — 1925, см.) к чрезвычайно замечательной интер претации гиперболической геометрии, ко торая окончательно решила вопрос о ее логической правильности. Средствами, ко торыми для этого воспользовался Клейн, являлись, с одной стороны, проективные преобразования, а с другой стороны—заме чательные работы английского математика А. Кели (Cayley, 1821—1895), относящиеся к теории квадратичных форм (с точки зрения алгебраической), или к теории кривых второ го порядка (с точки зрения геометрической). 13. Неевклидова геометрия в интерпре тации Кели - Клейна. Под проективными преобразованиями евклидова пространства разумеют такие преобразования, которые преобразуют все прямые линии вновь в пря мые линии. Вообще говоря, как уже было указано выше, форма кривой при преобра зовании изменяется. Но подобно тому, как преобразования Мёбиуса преобразовывают окружности в окружности, существуют пре образования, не меняющие формы прямых линий, т.-е. преобразовывающие все пря мые в прямые же. конечно, этим свойством обладают прежде всего движения; но о них не приходится говорить в том отношении, что движение преобразовывает все линии в конгруэнтные им линии. Вся суть в том, что помимо движений в евклидовом про странстве существует еще множество других преобразований, которые преобразуют все прямые линии в прямые же. Вот эти-то преобразования, впервые указанные Дезаргом, носят название проективных преобра зований, или коллинеаций; учение же о проективных преобразованиях составляет предмет проективной геометрии (см. XIII. 331/32, прил., 50 сл.). Дадим здесь представление о проектив ном преобразовании, ограничиваясь коллинеациями на плоскости. Пусть Q будет плос кость, О—точка, вне ее лежащая (рас. 22). Выберем произвольно вспомогательную плоскость Q' и точку О', лежащую вне обе их плоскостей. Пусть теперь А будет про извольная точка на плоскости Q; спроекти руем ее из центра О на плоскость Q, т.-е. соединим точку А с точкой О и прямую OA приведем к пересечению с плоскостью <7>